如何理解麦克斯韦方程中的不对称性

原创 yubr yubr

本文旨在说明如何理解麦克斯韦方程组中的不对称性。为了不破坏能量守恒，麦克斯韦方程组中电场和磁场关于时间的偏导数不能同正或同负，而只能一正一负。经过尝试我们发现，即使调换它们的相对负号，我们仍可以得到一个自洽的麦克斯韦方程组。

强迫症犯了

众所周知，麦克斯韦方程组统一了电和磁，并且充满了对称的美感。但是，如果仔细观察麦克斯韦方程组的形式，还是可以找到一些不对称的瑕疵的。首先我们写出（无介质时候的）麦克斯韦方程组^[1]，

你是否想过，号称最美公式的麦克斯韦方程组，右边居然至少有三处让人不舒服的地方^[2]

关于方程(1)和(2)：磁场的散度为 0 而电场的散度不为零，即磁场永远为无源场而电场可以是有源的；（多出一个 ）
关于方程(3)和(4)：磁场的旋度既可以通过变化的电场产生，又可以通过电流产生，而电场的旋度只能通过变化的磁场产生，即不存在所谓 “磁流”；（多出一个 ）
关于方程(3)和(4)：方程(3)的右边是负号，而方程(4)的右边是正号。

有办法对称吗？

关于第一点和第二点的解释，其实很简单，因为实验没有发现磁单极子，不存在所谓的 “磁荷”。因此这是麦克斯韦方程内秉的不对称性。如果实验找到了单独存在的磁荷，那么前两点的不对称性就完全不存在了。

当然原则上你可以定义所谓的 “等效磁荷”^[3]，使得麦克斯韦方程形式上更加对称。

但是必须要记住的是，你引入的只是等效的磁荷，而不是物理上真实存在的。你只是通过一些数学上的花哨技巧和物理概念的重新定义使得方程变得更加对称了，但是这种内秉不对称性（即实验上只存在电荷但是不存在磁荷）依然是存在的。关于磁单极子的内容，是一个非常艰深的大坑，可以和拓扑以及规范场论联系起来，所以这里不展开。

正负“不相容”

下面我们主要关注第三点，即正负号的不对称性。

如果你和我一样，是一个重度的对称性嗜好者，那么你会认为方程(3)右边取负号而方程(4)右边取正号是一件很难忍受的事，因为你至少可以提出三种替换法则：

都取正号；
都取负号；
(3)正(4)负；

下面我们就来尝试一下，如果作了上述替换，分别会发生什么惊天动地的事情，以至于我们必须接受这种不对称美。

首先，第一种和第二种替换本质上是一样，都会带来物理上灾难性的后果：破坏能量守恒定律。

我们以都取正号为例。考虑真空中无源（即）的情况。如果把方程(3)和(4)右边都改成正号

回忆一下从真空麦克斯韦方程推导电磁波方程的过程，我们立刻就能发现问题。我们不妨以电场为例，

所以电场的 “波动方程” 为

其 “平面波” 解^[4]

或者

其中

A

为任意常数。

这下问题大了

因为上述解描述的是振幅随空间（方程(11)）或者时间（方程(12)）指数衰减（指数上取负号的时候）或指数爆炸（指数上取正号的时候）的交变电场，无论哪一种都违反能量守恒^[5]。容易验证对磁场也是如此。

另一方面，如果采用第二种替换，即把方程(3)和(4)右边都改成负号，那么经过和上面完全一样的推导，同样可以得到违反能量守恒的交变电磁场的解。

所以我们得到结论：

无论是把方程(3)和(4)右边都改成正号还是都改成负号，都会破坏能量守恒定律，都是物理上不允许的。唯有一正一负才能保证能量守恒。

既然一正一负能保证能量守恒，那为什么就不能是(3)正(4)负呢？

正负调换之殇

那我们就看看(3)正(4)负会发生什么可怕的事情。

前方高能

倘若(3)正(4)负，

这确实不违反能量守恒，确实可以得到简谐振荡的交变电磁波。

但是这样就行了么？事情没那么简单。

我们知道除了用电场强度和磁感应强度，我们还可以等效地用标量势和矢量势来描述一个体系，

这两式显然和新的麦克斯韦方程是矛盾的（好吧也没那么显然）。对方程(17)两边同时取旋度，并且利用一个梯度场的旋度为零，我们得到

于是我们成功变回了负号，这和方程(15)矛盾！

慢着！！！

你不服气了，方程(17)和(18)完全是人为定义的标势和矢势，既然已经对麦克斯韦方程改写了，那么理应对标势和矢势也要重新定义。然后经过仔细观察，你发现只要把定义改为

那就和新的麦克斯韦方程协调了。

别忙，很快又有新的不幸的事情发生了。注意到

所以有

我们知道用标势和矢势描述体系时候会有冗余的自由度，这种自由度会带来规范对称性，允许我们对

\phi

和

A

做某个变换而不改变物理（也就是

E

和

B

)。

为了消除这种冗余的自由度，我们可以对

\phi

和

A

施加某种限制，这被称为规范固定。一种最常用的规范被称为 Lorenz 规范^[6]：

如果用四维语言表示，引入四导数和四矢势，那么 Lorenz 规范可以更加紧凑地写为。这种形式下 Lorenz 规范具有明显的 Lorentz 不变性，这也是 Lorenz 规范最大的优点。

在 Lorenz 规范下，方程(22)简化为

这也是标势

\phi

满足的无源情况下的达朗贝尔方程。从物理上讲，施加了规范固定后，标势和矢势满足的达朗贝尔方程与电场和磁场满足的波动方程是等价的。

仔细观察方程(24)，我们发现其形式和之前得到的 “病态” 的电场的波动方程(10)是完全一样的，所以由方程(24)求解出的标势也是一个振幅会随时空坐标指数衰减或者指数爆炸的形式，这也是物理上不允许的。

所以，方程(19)和(20)对标势和矢势的重新定义仍然会带来矛盾。

绝杀

但是你最后还想再挣扎一下，你发现对标势和矢势还有一种新的定义方式

这种定义方式，既和新的麦克斯韦方程(13)-(16)相容，又能使得

\phi

和

A

的达朗贝尔方程形式成为正确的波动方程的形式，从而其解为简谐波（请验证这一点！），看起来似乎没什么毛病了。

这在真空中无源的情形下确实没毛病，但如果把

\rho

和

J

考虑进来会怎么样呢？如果我们仿照含源的初始形式的麦克斯韦方程(1)-(4)，直接 naive 地把新的麦克斯韦方程(13)-(16)推广到有源情形，就得到

但是可以证明这样会和电流的连续性方程相矛盾^[7]，具体地说，对方程(30)两边取散度，并且利用一个矢量场旋度的散度等于，我们有

这显然和电流的连续性方程矛盾。但是，聪明的你很快就发现，其实就差一个相对负号。如果我们把方程(27)中的

\rho

前面加上一个负号，或者把方程(30)中的

J

前面加上一个负号，那么就可以得到电流的连续性方程了。

这两种替换其实是等价的^[8]，因为电流的初始定义就是正电荷运动的方向，我们把电流反向，等价于把正负电荷颠倒。为明确起见，我们下面采用在

J

前面加上负号的约定。

非常好，到目前为止，我们终于可以写下完全自洽的另一种形式的麦克斯韦方程组了，

并且标势和矢势必须定义为

仔细比较以上六个方程，和初始版本的麦克斯韦方程(1)-(4)以及标势矢势的初始定义(17)-(18)，虽然它们的正负号分布很不同，但却是等价的^[9]。

最后我们再来从实验的角度考察一下。初始版本的方程(3)来源于法拉第的电磁感应定律。

实验事实告诉我们，感生电动势的大小等于磁通量的负的增长率，这和方程(3)是一致的。

我们现在把方程(3)的右边变为正，同时把电流进行了反向，这并不违反实验。因为把电流反向的同时，相当于把感生电动势的正负号也反向了。初始版本的方程(4)来源于安培环路定理，实验事实告诉我们，环绕电流的磁场的回路积分等于穿过这个回路的电流的大小，这当然和方程(4)是一致的。

我们现在把方程(4)的右边变为负，这仍然不违反实验，因为我们现在对电流方向的定义也和之前正好颠倒了。至于位移电流这一项，本来就没有实验上直接的可观测对应，只是当年麦克斯韦为了满足电流的连续性方程而加进去的。

而上面已经论证过，在新形式的麦克斯韦方程下，仍然自洽地满足电流的连续性方程，所以位移电流这一项前面多出的负号不影响物理实质。

总结

总结一下，对于开篇列出的麦克斯韦方程组中的三点不对称性，前两点来源于实验上没有找到独立存在的磁单极子，这是麦克斯韦方程内秉的不对称性。

对于第三点正负号的不对称性，上面尝试了三种替换，即全都改成正号，全都改成负号，和把正负号颠倒。最后我们发现，全都改成正号或负号的操作是不允许的，这会破坏能量守恒定律。

而把正负号颠倒的操作是允许的，我们可以得到等效船新版本（方程(32)-(35)），同时标势和矢势的定义必须改为对应的新形式（方程(36)-(37)）。

所以：

两个量绝对的正负号是没有意义的，物理上有意义的是两个量之间的相对正负。物理上只禁止了麦克斯韦方程中磁场旋度和电场旋度的右边同正同负的情景，而至于究竟谁正谁负，在物理上是等价的。

最后补充一点

从对称性的角度来看，支配电磁规律的是规范理论，而可以证明规范理论在宇称变换下是不变的，因此电磁规律天生就具有宇称变换下的对称性。

如果你足够敏锐就可以发现，上面这两种版本的麦克斯韦方程组，区别只在于对叉乘的方向做了相反的定义，从而使

E

和

B

的地位发生了颠倒（真空中）。或者等价的说，两种版本的麦克斯韦方程组，其手征性的定义正好相反，在原版本中的左旋（右旋）到了新版本中成了右旋（左旋），改变手征性的变换就是宇称变换。因为电磁规律在宇称变换下是不变的，所以两种版本的麦克斯韦方程组理应在物理上是等价的。

附录

1. 为了简化记号，以及最大程度的突出对称和不对称，这里采用Heaviside-Lorentz单位制，这个单位制下，真空介电常数和真空磁导率都不出现，并且高斯单位制中的

4\pi

也不再出现。同时采用自然单位制，即取真空光速

c=1

。关于麦克斯韦方程组的介绍，可以参考两篇很棒的科普文：最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）和最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）。

2. 如果你发现了第四处不对称的地方，欢迎戳我，我会怀着最诚挚的热情和你讨论。

3. 事实上，如果你学习过电磁学，就会知道在碰到磁介质问题时，经常采用等效磁荷的方法，这种方法不仅更具有对称的美感，而且在处理一些特定问题时会方便很多。

4. 简单起见，以一维为例，足以说明问题。

5. 因为按照能量守恒，在真空中传播的电磁场的振幅应该始终保持不变，其解应该为

Ae^{\pm i k}(x\pm t)

的简谐波的形式。

6. 注意，Lorenz和我们熟悉的提出Lorentz变换的Lorentz是两个人！

7. 电流的连续性方程可以表示为，其物理含义是流出一个闭合曲面的净电流等于曲面内部电荷量减少的速率。如果用四维语言，定义四维流密度，则连续性方程可以写为明显Lorentz不变的形式，。而连续性方程来源于电荷守恒，而电荷守恒是电磁理论具有

U(1)

规范对称性的必然结果，所以无论何时都不能破坏电流的连续性方程。

8. 唯一细微的差别在于使用四维语言描述麦克斯韦方程组时。如果定义电磁场张量

F_{\mu \nu} \equiv \partial _\mu A_\nu - \partial _\nu A_\mu

，则含源的初始形式的麦克斯韦方程(1) - (4)可以等价为

\partial^\mu F_{\mu \nu} = J_{\nu}

。而对于新形式的麦克斯韦方程(27) - (30)，如果我们在

J

前面加一个负号，那么(27) - (30)仍然等价为

\partial^\mu F_{\mu \nu} = J_{\nu}

；而如果我们在

\rho

前面加一个负号，那么(27) - (30)等价为

\partial^\mu F_{\mu \nu} = -J_{\nu}

，相当于四维流密度前面差了一个负号。这一点是可以理解的，因为改变

\rho

的正负号相当于改变了电荷的正负号，而在QED中，电磁流的表达式为

J_\mu = e \bar{\psi} \gamma_\mu \psi

，是正比于电子电量

的，改变了

\rho

的正负号就改变了

的正负号，所以四维流矢量前面会多一个负号。

9. 也许我没有考虑完全，如果你发现新版本的麦克斯韦方程中有任何不自洽的地方，欢迎戳我，我将怀着最诚挚的热情和你讨论。

作者｜

yubr

编辑｜

TraderJoe's

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The End