当数学和物理联手，会搞出什么大事情呢？（上）

在过去的一个世纪里，量子场论（quantum field theory，QFT）被证明是有史以来应用最广泛也最成功的物理理论。它是一个总体的概念，里面包含了许多特定的量子场理论，就像“形状”的概念涵盖了一些例如正方形和圆形那样具体的例子。量子场论中最突出的理论被称为标准模型，正是这种物理框架取得了巨大的成功。

“它可以从根本上合理地解释我们所做的每一个实验，”剑桥大学的物理学家汤大卫（David Tong）如是说。

但无可争辩的是，QFT是不完整的。物理学家和数学家都不知道是什么使得量子场论成为了量子场论。他们已窥见了全貌，但尚未理清头绪。

“各种迹象表明，我们有可能找到更好的方式来思考QFT，”来自普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study，IAS）的物理学家内森·塞伯格（Nathan Seiberg）说道。“这感觉就像盲人摸象一样。”

数学需要考虑内在的一致性，并且关注每一个细节，它是使QFT完整的语言。如果数学能够学着像描述成熟的数学对象那样，用同样严格的方式来描述QFT，那么更完整的物理世界图景将很可能出现。

“如果你真的以正确的数学方式理解了量子场论，这将带给我们许多开放的物理问题的答案，甚至可能包括引力的量子化。”高级研究院主任罗伯特·迪杰格拉夫（Robbert Dijkgraaf）说道。

这也不是单行道。千年来，物理世界一直是数学最伟大的灵感来源。古希腊人发明了三角法来研究恒星的运动。数学把它变成了一门有定义和规则的学科，现在的学生们学习这些学科时不必参考这个课题的天体起源。又过了2000年后，艾萨克·牛顿想进一步理解开普勒行星运动定律，并试图找到一种严谨的方法来思考无穷小的变化。这种冲动（加上莱布尼兹的启示）催生了微积分领域，数学对其进行了适当的改进，时至今日微积分已经无处不在。

现在，数学家们想为QFT做同样的事情——把物理学家们为研究基本粒子而开发的思想、对象和技术纳入数学的主体。这意味着我们要定义出QFT的基本特征，这样未来的数学家就不必考虑该理论最初产生时的物理环境。

这样做的回报可能是巨大的：一旦数学发现新的探索对象和用来获取数字、方程式和形状之间的一些重要联系的新结构，数学就会进步成长。而QFT就提供了这两者。

“物理学本身作为一种结构而言，是非常深刻的。通常它是一种更好的方式来思考我们已经感兴趣的数学问题。这只是一种更好的组织方式。”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家大卫·本-兹维（David Ben-Zvi）说道。

在过去的至少40年以来，QFT一直吸引着数学家去探索其中的内涵。近年来，他们终于开始理解QFT本身的一些基本对象——数学家凭借自己的努力从粒子物理世界中将其剥离出来，并将它们转化为数学对象。

不过，这项努力目前还处于初期阶段。

来自罗格斯大学的物理学家格雷格·摩尔（Greg Moore）表示：“要等真到了那一步我们才能够知晓答案，但我当然希望我们目前只是看到冰山一角。如果数学家真的理解了QFT，那将会导致数学领域的巨大进步。”

人们通常认为宇宙是由基本粒子构成的，比如电子、夸克、光子等等这些东西。但是物理学很久以前就超越了这个观点。物理学家们现在不再谈论粒子，取而代之的是所谓的“量子场”，就像现实的经纬线一样。

这些场横跨了宇宙的时空。它们有很多种形式，像波动的海洋一样起伏。在场起伏并相互作用时，粒子从中浮现出来，然后又消失在其中，就像稍纵即逝的波峰。

“粒子不再是永恒不变的东西了”，汤说道，“现在它们只是场的舞步泛起的涟漪。”

想要理解量子场，最简单的方法是从普通场或说经典场开始。想象一下测量地球表面每一点的温度。我们将无限多个点组合在一起，在这些点上进行温度的测量，最终形成一个称为场的几何体，它包含了所有这些温度的信息。

一般来说，只要你有一些可以在空间中以无限精细的分辨率来唯一测量的量，就会出现场的概念。“你可以问关于时空中每个点的独立问题，比如这里的电场相对于那边的电场是多少。” 大卫·盖奥托（Davide Gaiotto）说道。他是加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所（Perimeter Institute for Theoretical Physics）的物理学家。

当你观察的是量子现象，比如在时间和空间的每一点的电子能量时，量子场就产生了。但是量子场与经典场又有着根本的不同。

地球上某一点的温度是确切的，该是多少就是多少。不同的是，不管你是否测量它，电子在你观察到它的那一刻才有确切的位置。在此之前，它们的位置只能通过概率来描述。通过给量子场中的每一点赋值，来获取到在那里找到一个电子相对于其他地方的可能性。在观察之前，电子基本上无处不在。

“物理学中的大多数东西不仅仅是物体。它们是存在于在时空的每一个点上的东西。” 迪杰格拉夫说。

在量子场论中有一套人们称为关联函数（correlation functions）的规则，它解释了场中某一点的测量与另一点的测量之间的关联。

每一种量子场论都描述了特定维数的物理。二维量子场论通常用于描述绝缘体等材料的行为；六维量子场论则与弦理论密切相关；四维量子场论描述了我们实际四维宇宙中的物理现象。标准模型就是其中之一，它也可能是唯一最重要的量子场论，因为它最能描述我们的宇宙。

宇宙中有12种已知的基本粒子。每一个都有自己独特的量子场。对于这12个粒子场，标准模型还加入了四种力场来表示四种基本力：引力、电磁力、强相互作用和弱相互作用。它将这16个场写入一个可以描述它们如何相互作用方程中。通过这些相互作用，基本粒子被理解为各自量子场的涨落——物理世界于是出现在我们眼前。

标准模型

这听起来可能很奇怪。但物理学家在20世纪30年代就意识到，基于场而不是粒子的物理学能够解决一些最紧迫的矛盾——从因果关系问题到粒子不会永远存在的问题。它还解释了在物理世界中一些似乎不太可能的一致性问题。

“宇宙中所有相同类型的粒子都是一样的，”汤说。“如果我们用大型强子对撞机制造出一个新的质子，它和已经运行了100亿年的质子完全相同。这应该得到一些解释。”——是的，QFT提供了它：所有的质子都只是在同一个更深层的质子场中的涨落（或者，如果你可以更仔细地观察，是深层次的夸克场的涨落）。

但是，QFT的解释能力是以很高的数学代价来实现的。

“到目前为止，量子场论是数学中最复杂的对象，以至于数学家都不知道如何理解它们。”汤说，“量子场论是尚未被数学家发明的数学。”

是什么让数学家感觉如此复杂？两个字，无限。

当你在一个点上测量一个量子场，得到的结果不是几个像坐标和温度这样的数字。相反，它是一个矩阵——这意味着得到的是一组排列好的数字。而且你得到的不是随随便便的一个矩阵——它是一个大的矩阵，我们也称之为算符，它有无限多的列和行。粒子从场中浮现出来包含了许许多多可能性，而这些算符反映了量子场是如何将这些可能性都包括在内的。

“粒子可以有无限多个位置，这就导致了这样一个事实，即描述位置和动量测量的矩阵也必须是无限维的。”约克大学的卡西亚·雷兹纳（Kasia Rejzner）说。

当一个理论涉及到无穷时，关于它们的物理关联性就会出现一些疑问。因为无限是一个概念，而不是实验所能测量到的任何东西。这也使得这些理论很难用数学来解释。

“我们不喜欢有一个能说明无限的框架。这就是为什么你开始意识到你需要对发生的事情有更好的数学理解。”阿姆斯特丹大学的物理学家亚历杭德拉·卡斯特罗（Alejandra Castro）说。

位于日内瓦欧洲核子研究中心的大型强子对撞机

当物理学家开始思考两个量子场如何相互作用时，无限的问题就变得更糟了，例如，科学家在日内瓦郊外的大型强子对撞机对粒子碰撞进行了模拟。在经典力学中，这种计算方法很简单：要模拟两个台球碰撞时发生的情况，只需使用指定碰撞点上每个球的动量。

当两个量子场相互作用时，你可以做一个类似的事情：在它们相遇的时空点上用一个场的无穷维算符乘以另一个场的无穷维算符。但是这个计算——涉及到两个无限接近的无限维物体——是困难的。

雷兹纳说：“问题就出在这里。”

物理学家和数学家不能用无穷来计算，但他们已经开发出了解决办法——用近似的方法来回避这个问题。这些解决办法产生了近似的预测——而这已经足够好了，因为实验也不是无限精确的。

“我们可以做精度到小数点后13位的测量实验，到这里和理论符合得很好。这是所有科学中最令人惊讶的事情。”汤说。

一个解决办法是，首先想象你有一个量子场，在这个量子场中什么都没有发生。在这个被称为“自由”理论——因为它不包含相互作用——的环境中，你不必担心无限维矩阵的乘法，因为没有任何物体在运动，也没有任何物体发生碰撞。这是一个很容易用数学细节来描述的情况，尽管这种描述价值不大。

雷兹纳说：“这完全是无聊透顶的，因为你描述了一个没有任何相互作用的孤立场，所以这有点像是一种学术练习。”

但你可以让它更有趣。物理学家们加入了一点点相互作用，试图保持对图像的数学控制，不让相互作用变得更强。

这种方法被称为微扰QFT。从某种意义上讲，我们允许在自由场中进行小的变化或扰动。你可以把微扰的观点应用到类似于自由理论的量子场论中。它对验证实验也非常有用。“你会得到令人惊讶的精度，还有惊人的实验一致性，”雷兹纳说。

但是，如果你进一步增强相互作用，微扰的方法最终也会适得其反。它没有产生越来越精确的接近真实物理宇宙的计算，反而变得越来越不精确。这表明，虽然微扰法能够对实验提供有效的指导，但最终它并不是试图描述宇宙的正确方法：它在实际操作上是有用的，但理论上是不稳定的。

盖奥托说：“我们并不知道如何把所有的东西加起来，并得到一些合理的东西。”

另一个近似方案试图通过其他方法不断逼近成熟的量子场论。理论上，量子场包含无限精细的信息。为了制造出这些场，物理学家从一个网格或晶格开始，并将测量限制在网格线相互交叉的地方。所以，你不能在任何地方测量量子场——在一开始你只能在相隔一定距离的地方测量它。

以此为起点，物理学家提高了格子的分辨率，拉近了网格线的距离，创造出越来越细的网格。当它变紧密时，你可以测量的点的数量会增加，从而接近一个理想化概念的场——在那里你可以在任何地方进行测量。

“点之间的距离变得很小，最终就变成了一个连续的场，”塞伯格说。从数学上讲，连续的量子场是紧致格子的极限。

数学家习惯于用极限工作，并且知道如何确定某些极限确实是存在的。例如，他们证明了无限序列的极限1/2+1/4+1/8+1/16…是1。而物理学家想证明量子场是这个网格操作的极限所得。他们只是不知道怎么做。

摩尔说：“目前还不清楚如何利用这个极限，以及它在数学上有什么意义。”

物理学家毫不怀疑紧致格子最终会指向理想化的量子场。QFT的预测和实验结果之间的紧密吻合有力地表明了这一点。

塞伯格说：“毫无疑问，所有这些极限确实存在，因为量子场论的成功确实令人震惊。”但“有确凿证据证明某件事是正确的”，和“完全证明出来它是正确的”，这是两件不同的事情。

这是一个不精确的程度的问题。QFT跳脱出了其他伟大的物理理论，并渴望取而代之。艾萨克·牛顿运动定律、量子力学、爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论——它们都只是QFT想讲述的更大故事的一部分。但与QFT不同的是，它们都可以用精确的数学术语写下来。

“量子场论作为物理现象的一种几乎通用的语言出现了，但它的数学形式很糟糕，”迪杰格拉夫说。对一些物理学家来说，这是停下脚步的原因。

“如果整个房子都是建立在这个核心概念上的，而这个概念本身并不是用数学的方式来理解的，那你凭什么这么自信这是在描述我们的世界？这让整个问题变得更加尖锐。”迪杰格拉夫说。

（未完待续）