对称与不对称—李政道 | 周末读书

在中文里，“物理”的意思乃“物之理也”，“物”包括从宇宙到亚原子的所有物质，物理学就是研究物质的结构和运动规律的一门基础科学。

中国古代文献中最早提到“物理”这个名词的，可能是唐朝（公元8 世纪）著名诗人杜甫，他写了如下诗句：

细推物理须行乐，

何用浮名绊此身。

——摘自杜甫《曲江二首》

这位古代诗人告诉我们：研究物理、探讨物理规律需要细（仔细观察）、推（演推规律）且自有无穷乐趣，又何须为空名所束缚。

按照现在的物理理论，宇宙中基本的相互作用有以下三大类：

自然界的基本相互作用就这三种。描述这些相互作用的理论都是以对称为基础的。然而，大多数的对称量子数又是不守恒的。一方面，理论越来越对称；另一方面，我们发现有越来越多的不对称量子数。这构成了当代物理学的一个基本疑难：既然我们生活的世界充满着不对称，我们为什么还要相信对称性呢？

其实，这是不矛盾的，因为很可能为了要有最大的不对称的可能性，我们必须有绝对的对称性。我想用弹性物体的弯曲的例子来解释这个论点。

如果我们对一个弹性杆从两头向内施加力，那么，当力较小时，杆受到弹性压缩；当力较大时，这个杆就发生弯曲，欧拉早在18 世纪就已证明：当

时，杆就发生弯曲，其中E 为材料的弹性系数，I 为转动惯量，l为杆的长度。而杆发生弯曲的可能方向与杆的截面形状有很大关系（如图2.1所示）。

当截面为圆时，对称性最大，弯曲的可能方向有无穷多种；而当截面为矩形时，对称性减小了，弯曲的可能方向就只有两个了；当截面为任意形状时，没有对称性，那就只有一个可能的弯曲方向了。圆形截面具有最大的对称性，它所提供的不对称弯曲的可能性也最大。而且，这些不同的不对称弯曲方向可通过一个转动相联系，且无需能量。

图2.1  弹性杆的弯曲

自然界中另一个重要的对称性是标度对称性。在科学中，很多复杂结构遵从非常简单的数学公式。这里，让我们以海螺的形状为例来说明。

1917 年， 汤姆森（D’Arcy Thompson）发现，海螺的螺旋结构可以用简单的数学公式来描写， 这就是半径r 与角度的对数成线性关系（如图4.1 所示）：。我们称这类关系为标度定律，我们只要知道结构的一小部分，就能从标度关系预言整体的结构。

湍流是另一个满足标度定律的重要例子。让我们来看日本古代画家葛饰北斋（Katsushika Hokusai，1760—1849）的一幅名画（如图4.2所示），在浪花中不断重复着相同的结构。

图4.1  标度定律与海螺结构

图4.2  神奈川冲浪里   [ 日] 葛饰北斋

湍流谱的公式是由Kolmogorov (1941 年)，Onsager(1945年)和von Weizäscker (1948 年)先后证明的，下面是一个将他们的推理简化的证明：

假定从波数k 到k+dk 传递的能量E（k）只与k 和维持此湍流的能量输入速率ε 有关，而和流体的黏滞系数与湍流的其他细节无关：

我现在用量纲分析方法来证明这个公式：因为E(k)只与k 和ε 有关，ε=dυ²/dt 为单位质量的能量输入速率，而从这些量的量纲看， 速度v 的量纲是[ v ] =L/T， 其他量的量纲：

所以

如果你仔细去分析葛饰北斋的画，就会发现，在浪花中确实有相同结构的不断重复，其在数学描述中的表现就是在指数上有分数；类似这样在指数上有分数的规律在自然界是很普遍的，称为分形（fractal）。