物理与数学的碰撞融合|丘成桐——科学讲坛

近日，诺贝尔物理学奖再一次颁给广义相对论相关的研究。自1905年狭义相对论问世之后，爱因斯坦花费了近十年的时间将引力成功地融合到他的新理论——广义相对论之中。广义相对论对众多宇宙学现象做出了精准的解释和成功的预言，令无数学者心驰神往。那么，广义相对论的发展过程中有哪些趣事？又有哪些专家学者为之做出了不可磨灭的贡献？高能论坛很荣幸地邀请到了著名的美籍华裔数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐教授，为我们分析解读经典广义相对论的发展史，以及守恒量在其中的重要作用。

回顾广义相对论的发展历程，一个非常重要的思想叫做“等价原理”（图1），这一思想起源于古老的比萨斜塔实验：在引力场中，任何自由下落物体的加速度都是相同的，和它们拥有的质量无关。这为爱因斯坦构造一个与观察者无关的引力理论打下了基础。

图1. 等价原理

构造理论的过程中，爱因斯坦曾受多位著名几何学家的影响，其中最重要的是19世纪伟大的数学家黎曼，他提出的空间概念成为爱因斯坦引力理论的重要基石。在黎曼之前，人们只了解三种空间：平面（欧氏空间）、球面空间和双曲空间（图2）。黎曼空间与上述的三种空间完全不同，我们可以通过不同的坐标系来观察空间的性质，而真正有意义的性质又不会依赖于坐标系的选取。这些空间性质十分重要，它们满足了爱因斯坦想要实现的等价原理。

图2 三种空间

早在狭义相对论提出伊始，物理学家们就开始尝试在三维空间中融合牛顿引力理论和狭义相对论，但无一例外都失败了。1908年，在对电动力学进行了深刻的思考后，闵可夫斯基认为应该将时间和空间结合起来，并以此赋予了狭义相对论几何解释。而这也成为爱因斯坦构建广义相对论的重要灵感，他意识到必须将新的引力理论构建在四维时空之上。将引力理论构建在四维时空之上需要用到张量这一概念，当时通讯还不发达，爱因斯坦与他的好友，几何学家格罗斯曼，一同翻阅了大量文献，利用几何学家里奇、列维·奇维塔等人发展出来的数学工具，对构建引力场方程做出了很多探索。最终，通过与数学家希尔伯特的交流，爱因斯坦于1915年建立起了完整的广义相对论体系（图3）。

图3. 爱因斯坦方程（图片来自网络）

丘成桐教授表示：爱因斯坦无疑是广义相对论最重要的贡献者，但同时我们也不能忘记几何学家们对理论的帮助。同时，他还激励同学们，一个伟大的贡献需要长时间的思考以及瞬间的灵感，中间一定会经历很多困难和曲折。

广义相对论的构建到这里便告一段落，但是故事还远没有完结。广义相对论是一个亘古未见的理论，不仅因为运动方程是高度非线性的，还因为背景时空是动力学演化的。前者导致运动方程极难求解，并且很难找到恰当的初值和边界值，这个问题困扰了一代又一代人，直到今天还没有一个完美的方案。后者导致时空没有整体的对称性，以至于难以定义质量、角动量这些常见的守恒量。为了解决守恒量的定义问题，物理学家们做了很多尝试。例如，假设系统是孤立的，可以利用无穷远处的渐近对称性定义系统的总质量，也就是众所周知的“ADM质量“。另外，为了跟踪系统由引力辐射带走的能量，还可以在类光超曲面上定义“Bondi质量“。上述定义只能表示整体时空区域内的总质量，为了研究关于质量更多精细的信息，物理学家们还进一步定义了“准局域质量”。

图4. 丘成桐与孙理察

然而，这些定义能否反映真实的物理系统一直以来都是大家争论的焦点。例如，孤立系统的ADM质量是否恒正？如若不然，负质量系统的存在表示广义相对论一定是有极大缺陷的，需要新的物理或是数学思想来挽救。这个问题困扰了研究者们很久，直到1979年，丘成桐教授与他的合作者和学生孙理察（图4）证明了系统的ADM质量一定是正的，避免了危机的产生。在此基础上，丘先生还证明了只要系统的质量密度足够大，一定会塌缩形成黑洞（图5），这是人们第一次清晰严格的推导出黑洞产生的物理机制，这里他用到一个彭罗斯和霍金发展的研究奇异点的叫做封闭陷获面的工具。除此之外，丘成桐教授与合作者们还发展了一套关于“准局域质量”的定义，这使得常见的守恒量如动量、角动量都可以被很好的定义出来。

图5. 黑洞

丘成桐教授表示：广义相对论与几何学相互影响了一个世纪，这是物理学家和数学家的一次很好的合作，也期望以后能进行更多的合作与交流。在场的同学们反响热烈，在报告结束后向丘先生提出了很多问题，丘教授也一一耐心解答。他鼓励同学们，青年人在科研中要学会深入思考，敢于质疑、敢于挑战困难，才能最终攀上真理的高峰。

丘成桐教授是著名美籍华裔数学家。现任哈佛大学数学系教授、物理系教授，清华大学丘成桐数学科学中心主任，北京雁栖湖应用数学研究院院长。1976 年， 丘成桐教授证明了卡拉比猜想与爱因斯坦方程中的正质量猜想，并对微分几何和微分方程进行重要融合，影响重大。丘成桐教授在几何、拓扑学、物理学上做出许多成就，于1982 年荣获国际数学界最高荣誉的菲尔兹奖 (Fields Medal)，即相当于数学界的诺贝尔奖，并于2018 年荣获马塞尔·格罗斯曼奖。

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