黑体辐射公式的多种推导及其在近代物理构建中的意义(Ⅰ)

|作者：曹则贤(中国科学院物理研究所)

本文选自《物理》2021年第11期

摘要  黑体辐射是近代物理史上一只会下金蛋的鹅，是近代物理的摇篮。黑体辐射研究的意义还在于这是唯一一个涉及c，k，h三个普适常数的物理情景。黑体辐射谱抗测量误差的特性带来了辐射标准和绝对温度参照，谱分布公式对模型的不敏感则使得黑体辐射成为独特的物理研究母题。黑体辐射谱分布公式，普朗克多角度推导过，德拜推导过，艾伦菲斯特推导过，劳厄推导过，洛伦兹和庞加莱深入讨论过，泡利推导过，玻色推导过，爱因斯坦在20多年的时间里多角度推导过且产出最为丰硕，近代还有从相对论角度的推导，每一个角度的推导都带来了物理学的新内容，这包括量子力学、固体量子论、受激辐射、量子统计、相对论统计，等等。认真回顾黑体辐射研究的历史细节，考察其中的思想概念演化，不啻于体验一次教科书式的学(做)物理之旅，比如也可以尝试给出能量局域分立化的简单新证明。

关键词  黑体，黑体辐射，热辐射，空腔辐射，气体运动论，热平衡，不可逆过程，熵，绝对温度，基尔霍夫定律，斯特藩—玻尔兹曼公式，维恩位移公式，维恩谱分布，瑞利—金斯谱分布，能量均分原理，普朗克方程，普朗克函数，普朗克谱分布，振子，能量量子，不连续性，量子力学，作用量量子化，相空间体积量子化，零点能，全同粒子，玻尔兹曼统计，光电效应，受激辐射，玻色—爱因斯坦统计，玻色—爱因斯坦凝聚，费米—狄拉克统计，热力学，电磁学，统计力学，量子，光子，涨落，波粒二象性

光是人类同远方唯一的连接，光是第一物理对象和工具。光与物质间的相互作用天然地是物理学的主题。当一束光照射到一块物体(假设是固体，不发光——这个说法在学过黑体辐射以后会发觉不对)上时，光会被反射、吸收(可能还引起再发射)，一部分会透过去。对于普通的物体，如果其对可见光(波长约在390—780 nm之间)的透过率和反射率足够小，它就会给人以黑色的印象。不透可见光意味着材料对可见光有强烈的吸收，则材料的能隙要小于1.5 eV，或者其等离激元频率要高于4×10¹⁴ Hz。常见的无定形炭对可见光有强烈的吸收，是黑的，故有炭黑一说(可见光吸收率可达0.96)。炭的一种sp²-键结合的晶体，石墨，其带隙约为-0.04 eV，为半金属，对红外光全面地强烈吸收，因此它更黑。但是，石墨晶体对可见光有强烈的反射，故高品质的石墨晶体有金属光泽(图1左)。近年来超黑材料(superblack materials)的研究方兴未艾，其关键是把窄带隙材料的表面加以无序化、粗糙化以消除反射。当前所获得的超黑材料，比如黑硅，对可见光的反射率已几乎为零，其黑色艳得邪恶(图1右)。

经验告诉我们，物体吸收了光，就会变热。中国北方的人们冬天喜欢晒太阳，而且知道穿黑棉袄、黑棉裤取暖效果比较好。据信法国物理学家菲涅尔(Augustin-Jean Fresnel，1788—1827)针对牛顿在Opticks(光学)一书中表达的“作为颗粒的光穿越充满热介质的空间畅通无阻”的观点(好像书里面没有这个观点。牛顿冤枉)曾反驳道，光照下的物体其热会无限增加[Charles Coulston Gillispie，The Edge of Objectivity：An Essay in the History of Scientific Ideas，Princeton University Press (1960)]。然而，一个物体如何能容纳其吸收的无穷多的热呢？吸收光的物体，其温度不会总升高吧？如果是这样，只要照射时间足够长，弱光也能把一块物体给汽化了。1858年，苏格兰物理学家斯图尔特(Balfour Stewart，1828—1887)发现，涂上灯黑(lamp-black. 用今天的话说，是微纳米炭颗粒沉积物)的表面能吸收所有照射其上的光，因而同其他表面相比具有最大的光吸收能力，但它同时也拥有最强的光发射能力。可惜，斯图尔特逻辑能力不强，未能抽象出一个普适性原理：存在(哪怕是仅存在于想象中)一个普适的具有最大光吸收——当然也是最大光发射——能力的表面，此事儿与光波长和温度无关。但是，斯图尔特用射线的反射与折射(遵循Stokes—Helmholtz 的 reciprocity principle，互反原理¹⁾)来讨论他的实验结果。他得到了一个重要结论，就是在一个处于热平衡的、不管是什么材料做成的空腔里，从内壁任何部分辐射的热与灯黑的辐射相同[Belfour Stewart，An account of some experiments on radiant heat，Transactions of the Royal Society of Edinburgh 22，1-20(1858); D. M. Siegel，Balfour Stewart and Gustav Robert Kirchhoff：two independent approaches to Kirchhoff ′s radiationlaw，Isis 67(4)，565-600(1976)]。

一般文献讨论黑体辐射会从基尔霍夫定律开始。基尔霍夫(Gustav Kirchhoff，1824—1887，图2)，德国物理学家，1847年毕业于柯尼希堡(Königsberg，现属俄罗斯)大学，1850—1854年在布雷斯劳(Breslau，现属波兰)大学任教，然后转往海德堡大学，1875年转往柏林大学任理论物理教授。基尔霍夫研究电以及光谱，做出了奠基性的贡献，其中最值得称道的是他和本森(Robert Bunsen，1811—1899)一起发明了光谱仪。1859年，基尔霍夫计算了无阻导线中电信号的速度，得出了电信号速度为光速的结论[Gustav Kirchhoff， On the motion of electricity in wires，Philosophical Magazine 13，393-412(1857)；P. Graneau，A. K. T. Assis，Kirchhoff on the motion of electricityin conductors，Apeiron 1(19)，19- 25(1994)]。可惜，一般电学教材基本不谈论电力传播速度问题。

1859年，基尔霍夫在光谱研究中发现了(气体分子的)吸收谱线和发射谱线重合的现象。进一步地，基尔霍夫研究热平衡时固体腔内的热吸收与发射，发现对于给定的波长，发射能力与吸收率之比不依赖于具体的物体。热平衡下的辐射是各向同性的。辐射密度在各个方向都相同的发射体是Lambert发射体(命名来自Johann Heinrich Lambert，1728—1777)。1860 年，基尔霍夫提出了完美黑(vollkommen schwarze)的概念。对于那些能吸收所有照临其上的光的物体，“我将那样的物体称之为完全黑的，或者就简称为黑的(Ich will solche Körper vollkommen schwarze，oder kürzerschwarze，nennen)”。既不反射也不让辐射透过， 那意味着对照临其上的光的完全吸收。黑体(black-body)一词，德语为 schwarzer Körper 或者Schwarzerkörper，由基尔霍夫在其 1860 年题为“论物体之热与光的发射能力和吸收能力之间的关系”的文章(p.277)中首先提出[Gustav Kirchhoff，Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen derKörper für Wärme and Licht， Annalen der Physik und Chemie 109(2)， 275- 301(1860)]。一 说是在1862年基尔霍夫造了黑体辐射这个词。

黑体辐射，德语Schwarzkörperstrahlung，爱因斯坦喜欢用schwarze Strahlung(黑的辐射)，见爱因斯坦1910的文章。爱因斯坦还曾用过腔体(Hohlkörper)而不是腔空间(Hohlraum)的说法，见爱因斯坦1907的文章。许多英文文献干脆就叫热辐射(thermal radiation，heat radiation)。基尔霍夫关于热辐射的定律可以表述为：“任何物体(做成的空腔)，其热平衡时的发射能力与吸收率之比是一个普适的、只依赖于温度的函数，该函数是完美黑体的特征。”用大白话说，就是好的吸收体也是好的发射体(Ein guter Absorber istauch ein guter Emitter)。黑体的辐射谱密度与方向无关，与空腔辐射的谱密度相同(Die spektrale Strahldichte des Schwarzen Körpers muss daher von der Richtung unabhängig und mit der spektralen Strahldichte der Hohlraumstrahlung identisch sein)。基尔霍夫的发现，用公式可表示为在平衡条件下，，其中e_λ是物体的发射能力，a_λ是物体的吸收系数，而K_λ是入射的辐射强度。平衡是针对所有波长的平衡，故a_λK_λ = e_λ，K_λ = e_λ/a_λ。所谓的基尔霍夫定律，即是说平衡时的辐射强度谱分布函数Kλ是一个仅依赖于温度的简单函数，记为K_λ(T)或者K(λ，T)。黑体辐射等价于热平衡时空腔的辐射，因此它应该纯粹是热的性质²⁾，而与空腔的体积、形状、材料无关。也就是说，黑体辐射语境中的黑是一种极限性质。在空腔内插入任何物体，不影响空腔辐射的物理，故有普朗克模型中有炭粉的说法；哪怕是壁的吸收率为零的情形，a_λ=0，也成立，故后来有黑体辐射模型用的是全由镜子组成的空腔³⁾、或者腔中有只对特别频率的光透明的薄片(请记住这一点)。基尔霍夫的证明上来就用热力学第二定律，而那时热力学第二定律是崭新的。基尔霍夫因此相信，黑体辐射的这个谱密度分布是一个简单函数。基尔霍夫认为找出这个函数算得上非常有意义的成就(crowning achievement)。当然了，他也非常明白实验上会有很多困难要克服。基尔霍夫是在海德堡大学研究光谱时得到了黑体辐射定律的，他后来把黑体辐射研究带到了柏林，黑体辐射研究最终在柏林结出了硕果。实际情况是，在基尔霍夫定理提出后，经过40年的艰难探索，谱密度函数在1900年真地就被找到了。

基尔霍夫留下了如下与热辐射研究有关的著作：

(1) Gesammelte Abhandlungen (全集)，Johann Ambrosius Barth (1882)，玻尔兹曼编辑。 

(2) Gesammelte Abhandlungen：Nachtrag (全集增补)，Johann Ambrosius Barth (1891)，玻尔兹曼编辑。

(3) Vorlesungen über mathematische Physik，4 Bände (数学物理讲义，四卷本)，B. G. Teubner(1876—1894) .

(未完待续)