究竟为什么，快速排序的时间复杂度是n*lg(n)？ | 经典面试题
最烦面试官问，“为什么XX算法的时间复杂度是OO”，今后，不再惧怕这类问题。
快速排序分为这么几步：
第一步，先做一次partition；
partition使用第一个元素t=arr[low]为哨兵，把数组分成了两个半区：
左半区比t大
右半区比t小
第二步，左半区递归；
第三步，右半区递归；
伪代码为：
void quick_sort(int[]arr, int low, int high){
if(low== high) return;
int i = partition(arr, low, high);
quick_sort(arr, low, i-1);
quick_sort(arr, i+1, high);
}
为啥，快速排序，时间复杂度是O(n*lg(n))呢？
今天和大家聊聊时间复杂度。
画外音：往下看，第三类方法很牛逼。
第一大类，简单规则
为方便记忆，先总结几条简单规则，热热身。
规则一：“有限次操作”的时间复杂度往往是O(1)。
例子：交换两个数a和b的值。
void swap(int& a, int& b){
int t=a;
a=b;
b=t;
}
分析：通过了一个中间变量t，进行了3次操作，交换了a和b的值，swap的时间复杂度是O(1)。
画外音：这里的有限次操作，是指不随数据量的增加，操作次数增加。
规则二：“for循环”的时间复杂度往往是O(n)。
例子：n个数中找到最大值。
int max(int[] arr, int n){
int temp = -MAX;
for(int i=0;i<n;++i)
if(arr[i]>temp) temp=arr[i];
return temp;
}
分析：通过一个for循环，将数据集遍历，每次遍历，都只执行“有限次操作”，计算的总次数，和输入数据量n呈线性关系。
规则三：“树的高度”的时间复杂度往往是O(lg(n))。
分析：树的总节点个数是n，则树的高度是lg(n)。
在一棵包含n个元素二分查找树上进行二分查找，其时间复杂度是O(lg(n))。
对一个包含n个元素的堆顶元素弹出后，调整成一个新的堆，其时间复杂度也是O(lg(n))。
第二大类：组合规则
通过简单规则的时间复杂度，来求解组合规则的时间复杂度。
例如：n个数冒泡排序。
void bubble_sort(int[] arr, int n){
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n-i-1;j++)
if(arr[j]>arr[j+1])
swap(arr[j], arr[j+1]);
}
分析：冒泡排序，可以看成三个规则的组合：
1. 外层for循环
2. 内层for循环
3. 最内层的swap
故，冒泡排序的时间复杂度为：
O(n) * O(n) * O(1) = O(n^2)
又例如：TopK问题，通过建立k元素的堆，来从n个数中求解最大的k个数。
先用前k个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前最大的k个元素。
接着，从第k+1个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆，以保证堆内的k个元素，总是当前最大的k个元素。
直到，扫描完所有n-k个元素，最终堆中的k个元素，就是为所求的TopK。
伪代码：
heap[k] = make_heap(arr[1, k]);
for(i=k+1 to n){
adjust_heap(heep[k],arr[i]);
}
return heap[k];
分析：可以看成三个规则的组合：
1. 新建堆
2. for循环
3. 调整堆
故，用堆求解TopK，时间复杂度为：
O(k) + O(n) * O(lg(k)) = O(n*lg(k))
画外音：注意哪些地方用加，哪些地方用乘；哪些地方是n，哪些地方是k。
第三大类，递归求解
简单规则和组合规则可以用来求解非递归的算法的时间复杂度。对于递归的算法，该怎么分析呢？
接下来，通过几个案例，来说明如何通分析递归式，来分析递归算法的时间复杂度。
案例一：计算 1到n的和，时间复杂度分析。
如果用非递归的算法：
int sum(int n){
int result=0;
for(int i=0;i<n;i++)
result += i;
return result;
}
根据简单规则，for循环，sum的时间复杂度是O(n)。
但如果是递归算法，就没有这么直观了：
int sum(int n){
if (n==1) return 1;
return n+sum(n-1);
}
如何来进行时间复杂度分析呢？
用f(n)来表示数据量为n时，算法的计算次数，很容易知道：
当n=1时，sum函数只计算1次
画外音：if (n==1) return 1;
即：
f(1)=1【式子A】
不难发现，当n不等于1时：
f(n)的计算次数，等于f(n-1)的计算次数，再加1次计算
画外音：return n+sum(n-1);
即：
f(n)=f(n-1)+1【式子B】
【式子B】不断的展开，再配合【式子A】：
画外音：这一句话，是分析这个算法的关键。
f(n)=f(n-1)+1
f(n-1)=f(n-2)+1
…
f(2)=f(1)+1
f(1)=1
上面共n个等式，左侧和右侧分别相加：
f(n)+f(n-1)+…+f(2)+f(1)
=
[f(n-1)+1]+[f(n-2)+1]+…+[f(1)+1]+[1]
即得到：
f(n)=n
已经有那么点意思了哈，再来个复杂点的算法。
案例二：二分查找binary_search，时间复杂度分析。
int BS(int[] arr, int low, int high, int target){
if (low>high) return -1;
mid = (low+high)/2;
if (arr[mid]== target) return mid;
if (arr[mid]> target)
return BS(arr, low, mid-1, target);
else
return BS(arr, mid+1, high, target);
}
二分查找，单纯从递归算法来分析，怎能知道其时间复杂度是O(lg(n))呢？
仍用f(n)来表示数据量为n时，算法的计算次数，很容易知道：
当n=1时，bs函数只计算1次
画外音：不用纠结是1次还是1.5次，还是2.7次，是一个常数次。
即：
f(1)=1【式子A】
在n很大时，二分会进行一次比较，然后进行左侧或者右侧的递归，以减少一半的数据量：
f(n)的计算次数，等于f(n/2)的计算次数，再加1次计算
画外音：计算arr[mid]>target，再减少一半数据量迭代
即：
f(n)=f(n/2)+1【式子B】
【式子B】不断的展开，
f(n)=f(n/2)+1
f(n/2)=f(n/4)+1
f(n/4)=f(n/8)+1
…
f(n/2^(m-1))=f(n/2^m)+1
上面共m个等式，左侧和右侧分别相加：
f(n)+f(n/2)+…+f(n/2^(m-1))
=
[f(n/2)+1]+[f(n/4)+1]+…+[f(n/2^m)]+[1]
即得到：
f(n)=f(n/2^m)+m
再配合【式子A】：
f(1)=1
即，n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步，这是分析这个算法的关键。
将m=lg(n)带入，得到：
f(n)=1+lg(n)
神奇不神奇？
最后，大boss，快速排序递归算法，时间复杂度的分析过程。
案例三：快速排序quick_sort，时间复杂度分析。
void quick_sort(int[]arr, int low, inthigh){
if (low==high) return;
int i = partition(arr, low, high);
quick_sort(arr, low, i-1);
quick_sort(arr, i+1, high);
}
仍用f(n)来表示数据量为n时，算法的计算次数，很容易知道：
当n=1时，quick_sort函数只计算1次
f(1)=1【式子A】
在n很大时：
第一步，先做一次partition；
第二步，左半区递归；
第三步，右半区递归；
即：
f(n)=n+f(n/2)+f(n/2)=n+2*f(n/2)【式子B】
画外音：
(1)partition本质是一个for，计算次数是n；
(2)二分查找只需要递归一个半区，而快速排序左半区和右半区都要递归，这一点在分治法与减治法一章节已经详细讲述过；
【式子B】不断的展开，
f(n)=n+2*f(n/2)
f(n/2)=n/2+2*f(n/4)
f(n/4)=n/4+2*f(n/8)
…
f(n/2^(m-1))=n/2^(m-1)+2f(n/2^m)
上面共m个等式，逐步带入，于是得到：
f(n)=n+2*f(n/2)
=n+2*[n/2+2*f(n/4)]=2n+4*f(n/4)
=2n+4*[n/4+2*f(n/8)]=3n+8f(n/8)
=…
=m*n+2^m*f(n/2^m)
再配合【式子A】：
f(1)=1
即，n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步，这是分析这个算法的关键。
将m=lg(n)带入，得到：
f(n)=lg(n)*n+2^(lg(n))*f(1)=n*lg(n)+n
故，快速排序的时间复杂度是n*lg(n)。
wacalei，有点意思哈！
画外音：额，估计83%的同学没有仔细看，花5分钟细思上述过程，一定有收获。
总结
for循环的时间复杂度往往是O(n)
树的高度的时间复杂度往往是O(lg(n))
二分查找的时间复杂度是O(lg(n))，快速排序的时间复杂度n*(lg(n))
递归求解，未来再问时间复杂度，通杀
知其然，知其所以然。思路比结论重要。
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