王川: 从兰切斯特方程, 看强者益强和如何以弱胜强 (二)
本文是
的续篇.
(1)
2017 年二月，香港地铁上发生了一起打斗事件. 三名年轻外籍人士和几名本地人先有肢体冲撞，随之口角。领头的外籍人士先抬手打了一位“白衣短袖”的香港老者一个嘴巴，车厢内马上乱成一团，爆发群殴, 一时难解难分.
当地铁到站，打斗转移到站台上时，局势对于外方急转直下. （从下面视频的一分零七秒开始）
从录像看，港方参战团队五到六人, 外方三人.
1) 车厢门打开后, 先是外方一号跌倒在车厢门口，三四个人在车厢门口混战.
2) 混战中的外方二号被港方一白衣大叔追逐，后退，一拳打翻在地，
3) 外方一号站起来后，在旁边没有参与对队友的救援，
4) 外方三号开始打了几拳后，后面一直后退袖手旁观，
其实如果这几位年轻人学过军事数学上的兰切斯特方程，就绝不会在人数处于劣势时主动寻衅，自取其辱.
(2)
(有关兰切斯特方程和相关部分战例的内容，笔者是最初从汪涛老师的公众号“纯科学”的文章里学习到的。特此鸣谢，并推荐读者订阅汪老师的公众号 “纯科学”.)
兰切斯特方程，是1916年一次世界大战期间，英国工程师 Frederick Lanchester 发现提出的。这里重点介绍的是所谓兰切斯特平方律，它的基本假设是交战双方可以攻击对方的任何一个作战单元 (士兵)，自己也可能被对方任何一个士兵所攻击.
（下图为 Frederick Lanchester）
假设红蓝两军交战，红军的士兵数目为 A, 蓝军为 B. 假设红军的攻击力为 α, 意味着其单兵在单位时间可以杀伤的敌军士兵数目, 同样，假设蓝军的攻击力为 β.
那么两军人数随着时间变化，其关系可以用下述微分方程表达:
dA/dt = −βB
dB/dt = −αA
这个微分方程有两个重要结论:
第一, α A^2 = β B^2 + C ( C是一个常数）
用大白话说，两军的作战能力和自己单兵的杀伤效率成正比，但是和自己的人数的平方成正比. 如果三打一，人多一方的等价战斗力是人少一方的九倍！人少的一方需要有多方九倍的单兵战斗力才可能获胜！
第二, 当人少的一方被全歼时，人多一方还剩下的人数是
平方根 (α A^2 - β B^2)
换句话说，如果三打一，假设同等单兵战斗力, 弱者被全歼后，强者还剩人数是
平方根(8) = 2.83.
强者以损失 0.17 人的代价消灭弱者一人，自身战损率约 6%。但如果把打仗看成做生意，消灭敌军的数目当成投资回报，三打一的回报率就接近六倍！
如果是五打一，那么弱者被消灭时，强者人数还有 平方根(25 - 1）= 4.9, 损失0.1 人，战损率仅 2%，但消灭敌军的数目（一人）是自己损失的十倍 !
孙子兵法中总结的“十则围之，五则攻之”，其数学机制，就来源于此.
在香港地铁斗殴事件中，港方约五人，外方三人，按照兰切斯特方程，港方战斗力是外方的 25/9 = 2.7 倍。外方只有在单兵作战力是港方三倍的情况下，才有比较大的胜算. 否则轻易寻衅是自讨苦吃.
战斗结束时, 胜利一方的人数
= 平方根 （ 港方人数的平方 - 外方人数的平方 ）
= 平方根 （ 25 - 9 ）
= 4.
所以理论上，是港方会以损失一人的代价全歼外方三人, 这和实际最终结局接近.
(3)
那么，数量上居于少数的弱者，在战场上，应当寻求什么样的策略以弱胜强？
答案在于: 寻求局部的，绝对数量优势， 迅速消灭敌人，进而使双方整体数量对比, 朝对自己有利的方向发展.
1947年五月的孟良崮战役开展时，在整个山东解放军兵力只有27万，低于国军的四十五万.
但华野抓住战机, 以十五万人合围国军 74师的三万两千人，双方兵力比例为约五比一, 华野在短时间和局部空间内形成绝对优势. 尽管 74师武器和单兵作战能力极为强悍, 是华野的三倍以上，但是按照兰切斯特方程的估算，双方实际的战斗力相比为 25： 3, 大约八比一，最后华野以伤亡一点二万人的代价，全歼了 74 师.
解放军另外一个法宝是优待俘虏，进行忆苦思甜教育，把他们迅速转换成自身的战斗力. 这样不断积小胜为大胜，从局部数量优势不断扩充成整体数量优势。 47年以后国军的溃败之迅速，让许多旁观者大跌眼镜，但这实际上是兰切斯特方程在战场上的规律的自然体现.
(4)
一个反例则是美国的南北战争. 参战的北军总数两百二十万，南军约七十五万到一百万，双方对比约 2.5 比一。在这样的大局下，即使南军取得一些胜利，如果对北军的杀伤不能超过自身损失的2.5 倍，在战略上只会加剧自身覆灭的速度.
战争初期南军在若干局部战役中取得胜利，但大都是伤亡比例低于 二比一的惨胜，而不是大规模的歼灭战, 完全没有改变整体格局，反而使力量对比继续朝对己不利的方向发展。传统上人们认为 1863年七月 Gettysburg 会战结束大局才定，但是实际上 1862年四月北军占领南部港口新奥尔良时，局势基本上就没有太多悬念了.
南军在整体战略没有大的调整的情况下，顽抗到 1865年六月。就像一个垃圾股一样，在归零的道路上来回小幅震荡.
(未完待续)
续集预告:
(三）王川: 论兰切斯特方程在商业竞争中的应用
(四) 王川: 从波色*爱因斯坦凝聚态, 看强者益强的最高境界
敬请关注.
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