北师大版六年级数学（上）期末知识要点

一、圆的认识（一）

（1）.圆的定义：平面上的一种曲线图形。

（2）圆中心的一点叫圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．

（3）.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。

（4）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。

（5）.在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

用字母表示为：d＝2r 　

用文字表示为：半径=直径÷2　直径=半径×2

（6）.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。

二．圆的认识（二）

（1）将圆沿它的直径对折，我们发现两边完全重合，所以圆是轴对称图形。

（2）圆有无数条直径，所以它也有无数条对称轴。

（3）将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

三．欣赏与设计：

利用圆可以设计许多美丽的图案。

四．圆的周长及圆周率

（1）.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

（2）.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。

（3）圆的周长计算：圆的周长：C=πd 或C=2πr

（4）我国南北朝时期的数学家祖冲之使用“缀术”计算圆周率。可惜这种方法早已失传。据专家推测，“缀术”类似“割圆术”，通过对正24576边形周长的计算来推导。计算相当繁杂，当时还没有算盘。

最后得出了π的两个分数形式的近似值：，并且精确地算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间。

电子计算机的出现带来了计算方面的革命，  的小数点后面的精确数字越来越多。 到2002年，圆周率已经可以计算到小数点后12411亿位。

五．圆的面积

（1）.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

（2），把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推导一下圆的面积计算公式。

圆面积的推导，把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。圆面积公式推广：

（3）.圆环的画法及面积的计算。外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度）

（4）.半圆的周长及面积的计算。半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式：

半圆面积＝圆的面积÷2  公式为：

（5）圆面积公式有趣的推导：

把一个圆沿一个半径剪开，拉成一个三角形。这时候，三角形的面积就相当于圆的面积。三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径，三角形的面积=底x高÷2，所以圆的面积s=2πｒxｒ÷2=πｒ²

 本单元学习的内容,是在学生已经熟悉分数乘法的意义,以及初步掌握分数的四则混合运算的基础上进行学习的。本单元学习的内容主要包括:

1、稍复杂的求一个数的几分之几是多少（分数乘法一）;

2、求比一个数多(少)几分之几的数是多少（分数乘法二）;

3、已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数（分数乘法三）。

让学生利用“求一个数的几分之几是多少”的数量关系的已有认识,来解答一些稍复杂的分数乘法实际问题。这种类型的应用题是一个数乘分数意义的应用,是分数应用题中最基本的类型,今后学习百分数应用题也是在它的基础上扩展的。学生掌握这种应用题的解题方法,具有重要的意义。

分数乘法四则混合运算的顺序：

 分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。（1）如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。（2）如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；（3）如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。

解决问题：  

1用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤：（1）要找准单位“1”。（2）确定好其他量和单位“1”的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式。（3）设未知量为X，根据等量关系式，列出方程。（4）解答方程。

2 要记住以下几种算术解法解应用题：（1）对应数量÷对应分率=单位“1” 的量. （2）求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。（3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，也可以用列方程解答。

一、搭积木比赛

1.能正确辨认从不同方向（正面、侧面、上面）观察到的立体图形的形状，并画出平面图。

2.能根据把从正面、侧面、上面观察的平面图形还原成立体图形，进一步体会从三个方向观察就可以确定立体图形的形状；能根据给定的两个方向观察到的平面图形的形状，确定搭成这个立体图形所需要的立方体的数量。

二、观察范围

1、经历分别将眼睛、视线与观察的范围抽象为点、线、区域的过程，感受观察范围随观察点、观察角度的变化而改变。

2、能正确认识视线都是直线这个现象。能利用所学的知识解释生活中的一些现象。

路灯下物体的影长：同样高的杆子离路灯越近，它的影子就越 短。

三、天安门广场

1、从不同的位置，观察物体的形状和相对位置。

2、同一物体，从不同位置观察物体，看到的的形状也有所不同。观察时先确定景物中主要物体的相对位置关系，再进行合理的想象和推理。作出正确的判断。

一、百分数的认识

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。像84％，28％，90％，117.5％...这样的数都叫作百分数。百分数也叫百分比、百分率。百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。

2、百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。

3、 百分数的读法与写法：写作84％，读作：百分之八十四。

二、合格率

1、百分率的计算。求一个数是另一个数的百分之几用除法计算。

（1）合格率=合格数÷总数

（2）发芽率=发芽种子数÷实验种子数

（3）及格率=及格人数÷参加人数

（4）出勤率=出勤人数÷总人数

（5）成活率=成活的棵数÷总棵树

   ······

2、小数和分数化成百分数。

（1）小数化百分数，把小数的小数点向右移动两位，再在末尾添上百分号。

（2）把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；

三、营养含量

1、把百分数化成小数和分数。

（1）把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

（2）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

2、求一个数的百分之几是多少？用乘法计算。例如：250g黄豆中，蛋白质约有多少克？列式：250×36%=。计算时可以用两种方法：

（1）先把36%化成分数再计算。

（2）先把36%化成小数再计算。

四、这月我当家

1、已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

（1）用算术法解题。

一、扇形统计图

1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。

笑笑家一天各类食物摄入量统计图

2、扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量与总数之间的关系。与折线统计图不同的是，不能反应数量变化趋势；与条形统计图不同的是，不能很容易看出各种数量的多少。

3、扇形统计图的画法：（1）根据所给的部分量和总量，求出各部分量占总量的百分比。（2）用360度乘以相应百分比，得出扇形统计图中各部分所对扇形的圆心角度数。（3）画一个半径适当的圆，根据圆心角度数画出对应扇形。（注意各部分扇形加起来必须是整个圆）

二、统计图的选择

1、条形统计图：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。

2、折线统计图：折线统计图能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图：扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。（要在统计图上写出百分率）

三、身高的变化

1数据的整理：把数据从高到低排序。也可以把数据分段整理。

2、根据整理的数据制作统计表 、统计图。

下表是淘气所在班学生的身高情况。（单位：cm                                                     

根据淘气所在班学生身高统计表，完成下面的统计图

四、身高的变化

1、在实际情境中，认识并会求一组数据的中位数、众数，并解释其实际意义

2、制作复式折线统计图：

1．两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

2．比值通常用分数、小数和整数表示。

3．比的后项不能为0。

4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；

5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。

6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。

（二）求比值

1、求比值：用比的前项除以比的后项

（三）化简比

1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。

（四）比的应用

1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？

题目解析：60人就是男女生人数的和。

解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人

         第二步求男女生：男生：5×5=25人  女生：5×7=35人。

2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？

例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？

题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。

解题思路：第一步求每份：25÷5=5人

        第二步求女生： 女生：5×7=35人。全班：25+35=60人

3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？

4、要求量=已知量×

5、比在几何里的运用：

（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。

长=周长÷2×a/(a+b)     宽=周长÷2×b/(a+b)　面积＝长×宽

（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积

长=周长÷４×a/(a+b+c)    宽=周长÷４×b/(a+b+c)

高=周长÷４×c/(a+b+c) 　　体积＝长×宽×高

（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。

三个角分别为：

１８０×a/(a+b+c) 　　　１８０×b/(a+b+c)　　　１８０×c/(a+b+c)

（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。

三条边分别为：

周长×a/(a+b+c)　　　周长×b/(a+b+c)　　　周长×c/(a+b+c)