glTF(2.1): PBR
去年针对glTF的PBR材质，写过一篇文章。但重读这篇文章，觉得自己没讲到点子上。今天终于有时间重写一下。
Rasterization的不足
如上图，给你一个画布，任务是绘制这个多面体，你会怎么画呢？相信所有正常的人都是先绘制顶点，然后构成一个个的三角面，填充其中的颜色。
假如有100个物体呢，逻辑上并没有不同，一个一个的画就可以了。通常我们说的Rasterization也是这个思路。如图2，为了在屏幕上渲染物体，Rasterization有两个循环：
Loop objects
Loop pixels
Rasterization的好处是性能高，能够满足实时性的要求。它的首要问题是如何把一个3D的物体渲染到2D的平面，更擅长处理物体的几何形状，但在渲染效果上并不真实。比如一个鸟巢的模型，固然很好看，但一眼就能看出来是假的，相比一个倾斜摄影的模型，可能数据粗糙，但能看出来是真的。这里强调一下，不是说渲染的效果不好，而是不真实，是否真实的标准就是照片，Photorealism。
PBR的优势
我们之所以能看见一个物体，最大的功劳并不是物体本身，而是看不见的光。相机提供了一套系统的光学模型来捕捉光子成像，这是保证照片真实的理论基础。因此，为了更真实的渲染物体，于是便有了 ray tracing的渲染算法，也就是Physically based rendering（PBR）渲染模型。
Whitted最早的一篇论文《An Improved Illumination Model for Shaded Display》提供了第一版ray tracing algorithm，相信任何一个高中或初中生都能看懂，但想法很不简单。Whitted本来是研究原子弹的，正是这个基础，他能看到凡人看不到的光，并且还玩的很溜，在他的眼里，光就是由光子形成的射线，要想真实的渲染物体，我们要做的就是trace ray。
如上图，我们假设眼睛会放光，射线打到桌子上，然后在该点寻找光源，此处有两个光源，左侧的被苹果挡住了，所以不会有光，但右侧的光源是可见的，因此，该点是可见的，但强度略低。我们对可见范围内的每一个点都发送一条射线，然后判断是否和物体相交，如果相交，交点和光源之间是否有遮盖。这就是Ray tracing的简单原理，这个流程和Rasterization正好正好相反：
Loop pixels
Loop objects
PBR和Rasterization最大的不同，在于前者提供了一种可以量化光的算法和策略，而Rasterization只是对光的模拟，这个灯光满足这个场景，换一个场景就很难有同样的效果。
Light Equation
然而，Whitted-style ray tracing并不完美，出于性能的考虑，只考虑了一次漫反射，好比泰勒展开式，只考虑了第一阶导数，高阶导数忽略不计，所幸算法本身是客观的。现在，我们的任务就是更上一层楼，找到这个完美的光学公式。
如上图，假设在这个屋子里有一盏灯，不停的向四面发射光子，光子打在窗户上，可能折射出去了，也可能反射到墙壁，墙壁上可能也会有漫反射，可能会被吸收(热量)。图片中的任意一点主要有光源（incoming），一个是自发光，，一个是来自灯泡的direct ray或其他物体的indirect ray，可能是反射，也可能是折射的形式。而我们能看到这一点，就是它本身反射了一条指向相机的光线（outcoming），you cannot see it, but you can feel it. 于是，上面的这一段话，还有这张图片，最终不过就是如下的一个公式。
这里，L是光照的强度，G是Geometry的意思，比如是否有遮挡，光源和点x的夹角等。f是bidirectional reflectance distribution function，从ω(i)点射入的irradiance和反射到ω(0)方向的radiance之间的比例系数。请大家自行理解radiance和irradiance。
Image based light
简单回顾一下，首先，我们提到了Rasterization在渲染上的不足，PBR的优势，以及基于PBR推导出的光学公式。主要是针对理论上的阐述。但作为工程师，我不关心这是怎么来的，我只想知道是怎么用的。
何为Image based light，简单说就是有一张cube Mapping的纹理作为Skybox，每一个像素点的颜色，都算是一处光源。Rasterization无法量化光的强度，那就直接用照片预处理后的结果。光源的问题解决了，这积分符号，我看着别扭，整个人的心情都不好了，不着急，我们先举个例子。
还是屋子里有盏灯的例子，假设现在屋子漆黑一片，然后我们打开这盏灯，如果我们的相机足够快，能够比光速还快的那种快，我们就能监控到灯亮照亮整个屋子的这一刹那，灯泡随机的，均匀的向四面八方发射光子，光子打在墙上，随机的反射，折射或被吸收，请自行脑补这个瞬间。我们关灯，再开灯，继续重复这个过程，因为每一次都是随机的，所以这个过程每一次都不同，但只要有足够的积累，都会照亮这个屋子，结果是一致的。随机的不同，但在统计上趋于相同。
同样的道理，只要我们有足够的，随机的光线来模拟，最终的结果也是接近真实的，这就是Monte Carlo method。如因此我们可以推导出如下的公式，这里稍有不同的是分母中多了一个PDF（probability density function）的概念，用来做IS(Importance Sampling)，作用是提高概率高的光线的权重，目的是在用尽可能少的N来获取尽可能正确的结果，reduce variance。
BRDF
上面的光学公式就剩下f这个函数的定义了，glTF里采用的是Disney提供的Microfacet（显微镜） model，简单说，就是这个材质可以模拟各种光学现象，fragment的朝向差别较大，漫反射；如果均匀一致，镜面反射；不均匀但相似，则是glossy。此处就不深入讨论这个函数了，之前那篇PBR谈到的energy conservation，roughness和fresnel等相关概念。
至于BRDF函数，有三点基本的准则。首先，f>0,能量必须为正吗，f(l,v) = f(v,l)，光线可逆，最重要的是能量要守恒（曲面积分小于1）。
Environment Maps
至此，我们就可以通过采样的方式，获取每一个点对应的光照强度，然后结合材质的颜色和环境光的颜色，在fragment中计算每一个像素对应的颜色。但glTF基于《Unreal Engine's course notes on real-time PBR》进行了预处理，优化性能。
这个预处理的依据就是如上的公式。如果你的Cube Mapping的纹理是已知的，那前半部分的求和只跟roughness和cos(v)有关，而后半部分可以转化为一个kx+b的线性函数，这里，只有x未知，而k，b只跟roughness和cos(v)有关。而且roughness和cos(v)都在[0,1]之间，所以，我们可以生产一张如下的纹理，建立一张映射表，通过roughness和cos直接找到对应的k，b值，省去中间大量的采样计算。当然，纹理越大，越精确，但毕竟只是[0,1]之间的插值，所以是近似值。
总结
PBR材质是Rasterization和Ray tracing之间的一个很好的结合，严谨的数学推导以及实践中巧妙的近似。
天亮了，晚安