数学顽童的圆周率日

撰文｜倪忆

今天是3月14日，圆周率日。联合国教科文组织在2019年11月将3月14日正式定为国际数学节，所以今天是第二个国际数学节。在上一篇文章《爱因斯坦和霍金的朋友圈》中提到，3月14日是爱因斯坦的生日，也是霍金和福勒的忌日。然而，有一位伟大的数学家，他的生日和忌日都不是3月14日，但他同样跟这一天有着不解之缘。这个人就是去年因新冠肺炎不幸去世的普林斯顿大学数学系教授康威（John Horton Conway，1937.12.26—2020.4.11）。

2011年，康威与德国一所暑期学校的学生们在一起，注意他的衣服上有𝜋的图案

图源：Notices of AMS

关于康威的事迹有许多介绍文章。他完全是基于兴趣来选择自己所研究的问题，既包括前沿数学难题也有不起眼的初等数学问题，甚至各种数学游戏和数学玩具都在他的研究范围之内。他最著名的工作就是“生命游戏”。

用“生命游戏”可以模拟任何图灵机，上图是用生命游戏编写的计算𝜋的程序的输出画面

图源：LifeWiki

圆周率日Pi Day是数学爱好者们的节日，康威也经常在这一天参与数学科普活动。2016年3月14日，康威跟必胜客合作，悬赏征求三道数学问题的解答。在当天第一个给出任何一道题答案的人可以获得3.14年的免费披萨🍕。

2012年3月14日，康威参加普林斯顿大学的Pi Day活动

图源：普林斯顿大学

时过境迁，现在做出这些题已经得不到奖品，但读者还是可以挑战一下自我。下面就是这三道题的翻译。（原文见https://blog.pizzahut.com/national-pi-day-math-contest-problems-are-here-2/）

A. 有一个十位整数，各位上的数字各不相同。对于每一个1到10之间的n，这个十位整数前n位数字组成的数都能被n整除。这个整数是多少？

B. 我们学校的拼图俱乐部每周五放学后在一间教室开会。上周五，一位成员说：“我在这个信封中放了一些（个位）数字，这些数字加起来就是房间号。”一个女孩说：“这些信息显然不足以确定房间号。如果你告诉我们信封中数字有多少个，以及这些数的乘积，那么就足以找到这些数吗？”他（经过一段时间的涂鸦）：“不。”她（经过一段时间的涂鸦）：“好吧，至少我已经找到它们的乘积了。”我们会面的教室房间号是多少？

C. 我的钥匙圈是一些直径约两英寸的金属圈。它们被混乱地套在一起，以至于我无法把任何一对跟其他的任何一对区分出来。但是，即使我从未能够区分左右，我仍然可以把某些三元组跟其他三元组区分出来。这里面可能有多少个钥匙圈？

这三道题中，第一题是小学奥数水平，第二题是中学奥数水平，两题都有不少人回答出来。第三题难度显著增加，已经到了科研水平，无人答出，康威也没有公布答案。（这道题目的叙述比较口语化，需要有一定的数学背景才能理解其确切含义。）

康威对第三题留下的手写纸条

图源：必胜客博客

关于圆周率日，康威有一个有趣的小发现。利用这个发现，康威能在两秒内算出过去二千年中任意一个日期是星期几。他把他的算法称为Doomsday算法。为了训练自己的计算星期能力，康威设置了开机程序，打开电脑后会随机显示十个日期，输入这些日期对应的星期后才能进入主操作界面。（笔者曾经多次看到康威使用电脑，但从未见过这种开机画面，因为他都是用common room外的公用电脑。）

康威的算法基于如下观察。在任何一年里，以下日期都有同样的星期：
4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12,
5/9, 9/5, 7/11, 11/7, （康威记为“我在7-11（便利店品牌）朝九晚五工作。”)
2月的最后一天，圆周率日3/14。
1月的代表日期稍微麻烦一些，平年可取1/31, 闰年取1/32（当然这并不是一个实际存在的日期，只是为了计算方便）。

这个星期被康威称为Doomsday，比如2021年的Doomsday是星期天。只要知道给定年份的Doomsday是星期几，再比较需要计算的日期跟该月份的代表日期除以7的余数就行。

举个例子，计算东京奥运会开幕日期2021年7月23日是星期几。2021年的Doomsday是星期天，而7月的代表日期是7/11。用23减去11得到12，被7除的余数是5。所以那一天是星期五。

再来一个例子，计算北京冬奥会闭幕日期2022年2月20日是星期几。2022年的Doomsday是星期一，而2月的代表日期是最后一天2/28。28能被7整除，所以只需要用20加上1，得到21，被7除的余数是0。所以那一天是星期天。

利用这个算法，任何一年中只要记住当年的Doomsday，就能快速算出任何一天的星期了。康威还有方法快速确定任一年份的Doomsday，以及在格利高里历和儒略历之间切换。（关于这两种历法的区别，见《为什么牛顿的生日是圣诞节？》。）但这些在日常生活中用不上，就不必说了。

用康威的算法来看看他的生日12/26和忌日4/11，会发现都是Doomsday，跟当年的圆周率日是同样的星期。这，或许也算是康威跟圆周率日的奇妙缘分吧。

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