笛卡尔，不行！黎曼，行！

每个正实数都有一正一负两个平方根。只要明确了你想要的根是正的还是负的，就很容易将它们区分开来。这意味着，对于所有的非负实数（0和正实数），可以明确定义平方根函数：

在非负实数域上定义的正平方根函数图

对复数开平方就没有这么简单了。在此之前，我们先来看看欧拉公式：在取平方根时，欧拉公式提供了表示复数的简便方法。

首先要记住，复数z可以写成x+iy，这里的，x和y是实数。复数可以与直角坐标系中的点一一对应。

用笛卡尔坐标平面上的一个点来表示复数

欧拉公式告诉我们，z也可以写成

(r, θ)是平面上z点的极坐标。其中r是z点到原点(0, 0)的距离，θ是连接z点与原点的直线与x轴所成的角度（逆时针标定）。

用极坐标平面上的一个点来表示复数

在本文中，我们将应用这种方法来表示复数。求平方根也就是求这个数字的1/2次幂，因此用指数表示复数会更加方便。

继续之前，我们要注意两件事情：首先，对于任意正实数r和角度θ，都有：

即角度增加2π后等于本身，因为一个点绕原点转一圈后仍是这个点。

其次，我们也可以用

来表示复数，这里的θ是正数。因为

我们可以将这个复数想成是一个距离原点r的点，从x轴正半轴出发，向顺时针，而不是逆时针方向旋转了θ角。

负角可以解释为从正x轴沿顺时针方向测量的角度

对一个复数求平方根时，我们又面临着两个选择，就像我们之前对实数求平方根的时候一样。

第一个选择是：

让我们来检验一下是否成立：

这是成立的。

第二个选择是：

检验一下：

同样是成立的。

z（蓝色圆点）的两个平方根（红色圆点）

其中和两个表达式称为平方根的两个支（branches）。

我们从非负实线上开始定义平方根函数f(z)。我们首先要确保对于这条非负实线上的实数x，其函数值对应正平方根 。这意味着我们需要从上面的两支中选择一支：

当θ = 0时，

如果我们把定义域从非负实线向外扩展一块区域，会怎样呢？比如说我们定义：

当-0.4 ≤ θ ≤ 0.4时，

下面的 Geogebra 小程序说明这个定义没有问题。这个函数是连续且定义明确的：当使用滑块改变r和θ时，您会看到（以红色圆点表示）随着（以蓝色圆点表示）的变化而不断变化。

点击图片可以在原文中进行互动

为啥不能用这个方法定义整个平面呢？设想一下，从上方和下方接近负实线的某个点时，会发生什么？我们可以使点的θ从0变到π，来看看从上方（逆时针）靠近时的情况。由于我们的函数是：

f(z)的值会靠近

而从下方（顺时针）接近时,我们可以让θ从0变到-π，由于函数的形式是

f(z)的值现在会接近

因此，如果将函数的形式选为

那么在整个复平面上，它会在负实线上不连续。当z从上方接近负实线时，函数值趋向，而当从下方接近负实线时，函数值趋向。

下面的 Geogebra 小程序就直观地体现了这一点。拖动滑块可以使θ在-π和π之间移动。

点击图片可以在原文中进行互动

这种不连续的现象，不仅仅是因为我们“选错了”支。如果我们把函数定义为

即放在另一支上，不连续的现象仍旧存在。

总之，复数平方根是一个多值函数，无法在整个复平面上以使其连续的方式明确定义。

然而，有一个十分巧妙的方法能让我们绕开这个问题：撇开平面，创造一个新的、能够让我们以一种连续的方式定义复平方根的面。我们首先取两个复平面，然后把它们沿着负实轴切开。

在其中一个面上我们定义

另一个面上定义

现在，我们将第一个被切了一刀的平面的顶边与第二个面的底边粘起来，反之亦然（想象起来有点困难，但坚持一下）。在生成的曲面（称为黎曼曲面）上，我们便可以明确且连续地定义平方根函数了。

为了阐明这一点，让我们先看一下第一个复平面上的点，其中 0<θ<π。当θ从0增加到π时，就接近了切口的上边缘，函数值趋近于。

现在看第二个复平面，此时 -π<θ<0 ，令θ从0变到 -π，这意味着我们正在接近第二个平面的切口的底边。因为在第二个复平面上函数定义是，当θ趋近于-π时，函数的值趋近于：

这时，第一个平面的上边缘与第二个平面的下边缘相接，因此函数在这个新形成的曲面上是连续的。

这是由切割和粘合形成的黎曼面的示意图：

以三维方式画出的定义复数平方根的黎曼曲面。若围绕该表面上的0点（位于正中心）一直走，你会在上方和下方的纸面上各绕一圈

尝试在三维空间创建此曲面会遇到问题：一旦将一个平面的顶边与另一个平面的底边相粘合时，剩下的两个空闲边缘则会位于新曲面的不同侧。将这些自由边缘粘合在一起的唯一方法是让表面穿过自身。因此正如上图所示，这个黎曼面的三维表示是自相交的。要获得不自相交的表面，则需要进入第四维。

复数平方根不是唯一的多值函数。另一个例子是复对数，它实际上有无限多个值。在这种情况下，定义它的黎曼曲面是一个美丽的无限延伸的阶梯（下图画出了有限的一部分）。

定义复对数的黎曼曲面