数学：理解量与量感 | 新课标大家谈

本次课程标准的修改增加了关于量感的论述与要求，老师们都十分重视。因为以前没有量感论述，所以如何认识并在教学中加以体现变得很急迫。本人从实践的角度出发，谈谈对量与量感的理解，与大家分享。

我们说量感，本质上就是在谈如何准确地理解“量”。培养量感，就是帮助孩子们形成对量的准确理解。这句话倒过来说，只有对量达成准确理解，而且这种理解成为自觉的状态，我们说的这种量感就存在了。而这种量感的存在，支撑了孩子们的思考水平。

量感是在长时间使用量的过程中形成的。稳定的精确的关于量的把握能力，如同一个相马者，看见一匹马时能估计到这匹马的奔跑速度。因此，量感也是孩子们在数学思考中从无到有到熟的成长成果。

在新课标中，对量感的描述为：对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。从这一描述可以看出，我们数学的量应该包含定性刻画与定量把握两个方面。

客观世界是由“物”组成，而“物”总是以“事”的方式存在，并发生作用。因此，对客观世界的刻画与把握，本质上是对“物”及“事”的刻画与把握。

首先，我们来看如何刻画与把握“物”。

对于物，总是从刻画物的属性开始。将物的属性加以确定，是数学的定性内容之一。

物是有轻重的，我们把轻重定性为质量或重量；物是有高低的，我们把高低定性为长度；物会运动的，我们的运动的持续定性为时间。

这些质量，长度、时间都属于刻画“物”的属性的量，我们可以称为属性量。

单个的物有属性，当两个物放在一起的时候，我们就会进行比较，我们将比较过程中形成的某一状态定性后，就有了关于比较的量，这些量反映的是两个量比较过程中的关系。

一个物比另一个物多，就有了相差量。

一个物相当于若干个另一物，就有了倍与率。

几个物放在一起比，就有了比。

这些相差数、倍数、分率、比都属于比较量。同时，比较的时候，会有一个比较标准，这样，就有了标准量与比较量。

两个物体静止的时候，可以比较。开始运动时，“事”就产生了。最源头的“事”可以概括为分与合，分中有一个特殊分叫等分。合中有一个特殊的合叫等合。这样就形成了四种运算。

用以支持这些运算的主体，我们也称为量，即运算量。

这个客观世界能发生什么事？能发生“合”与“分”两件事，这是运算。这个世界有两个物到底发生“合”的可能性大，还是“分”的可能性大？这个“合”的事情是否一定会发生？于是就有了描述事的发生的量，我们称为统计量。

在问题解决过程中，指向事情本身的描述，比如速度、单价、效率等，这都是同一性质的对象在不同情境中的刻画结果。还有指向问题结果的描述。未知的问题结果我们称为未知量，相对的已知的对象我们称为已知量。

这些关于定性的量的量感取决于我们对“性”的把握。“性”是一种状态，当“定”下来之后，就成了量的主体部分，这个定下的主体部分称为什么，那是一个名称，名称对应的那个关于“性”的主体部分便是理解。

我们以“面积”的定义为例。“物体表面与封闭图形的大小叫面积。”

读着“物体表面”这四个字，脑海里呈现的是什么？是体？是面？还是线呢？显然，呈现的是体。

读“封闭图形”这四个字时，脑子里呈现的是体？是面？还是线呢？显然，呈现的是“线”。

所以，我们在理解这个关于面积的定性时，脑里呈现的更多的是“体”与“线”，而没有“面”。这种呈现的东西便是“感”。而这个“感”的不对应带来了孩子们知识混淆的结果。

这是属性量的量感。

在小学里，定量把握的量通常称为计量单位，定量把握的量有长度量：厘米、分米、米、千米。有时间量：秒、分、时、日、月、年等等。这些量都与一定的数相连。

定量把握主要体现在两个方面，举个例子：

比如厘米的长短是比较适合体感的，分米、米也可以呈现为体感，但毫米、微米便很难用体感来呈现了，千米、光年等的长度更无法体感来表达。因此，定量把握的两个方面分别是基于体感的定量刻画与基于数感的定量刻画。

首先，基于体感的定量，简单说就是“像这样的状况为“XXX””。

比如一个指甲宽，定量为厘米。

比如一块砖的重，定量为千克。

比如一个指甲的大小，定量为平方厘米。

比如眨一下眼睛的长，定量为秒。

这些量的量感来源于身体的体感。

其次，基于数感的定量，就是“多少个像这样”的状况定量为“XXX”。

比如100个指甲的宽，定量为1米。

比如1000块砖头的重，定量为1吨。

比如眨60下眼睛的长，定量为1分钟。

……

这些量的量感，往往是一个基本的体感与一个数感相连而成的。

所以，定量刻画的量的量感，首先要锚定一个体感，建立一个基本的量感，然后由这个锚定的体感出发，基于数感，形成系列量的量感。

当我们确定量的类别之后，那么，量感的培养也是应该有两种不同的培养方法。

前文提到，定性的量有六种类型。我们现在以属性量为例，来说一说量感的培养。

长度是一个属性量，长度表达为一条线，线的属性是长度。长度这个属性量连接着厘米、分米、米这些定量把握的量。因此，长度的量感与面积的量感充分了之后，会连带着影响厘米与平方厘米的这些定量把握的量的量感。清晰明确的量感是不发生混淆的前提条件。

长度是一个定性刻画的量，这个量的量感取决于学生对线的认识与理解，也就是说，当对线具有正确的认识之后，长度的量感便建立起来了。

在生活中，孩子们通常会认为线是有曲直的，线有粗细的，线有长短的。这个曲直、粗细与长短形成的线的认识，便成了与长度相连的“感”。

因为线有曲直，所以，孩子们是不相信圆可以变成长方形的，老师说圆平均分的越多越接近圆，孩子认为分的再多也只是一段一段更细的弧线连成的一条曲线。因为线有粗细，所以，孩子们总是觉得两点之间不可能只画一条线，只要线足够细，两点之间便可以画很多条线，所以，孩子们最后认可两点之间只能画一条直线，是没有办法。因为不这样说，便会没有分数，便会被老师判错而订正。

所以，关于线的属性的认识，便有一个去伪存真的过程，生活中形成的关于线的曲直与线有粗细的认识，通过实验、讨论、发现线无曲直，线无粗细，线只有长短，这样的一个去伪存真的过程所形成的关于线的认识，便成了长度的量感。

这种量感在认识周长时，只要认识到周长是一条线，一条边线后，关于长度的量感便成了周长区别于面积的基础。

通常某一属性的定量把握，都会有基于量的不同而建立的一系列量，比如毫米、厘米、分米、米、千米等，这系列量的量感。首先取决于一个基本量的量感，所以，定量把握的量的量感要认真把握好第一个基本量的量感培养，这个基本量的确定取决于与人的体感对应程度。

还是以长度单位为例，毫米与千米是无法用身体来感受的，而厘米、分米、米都可以用身体来明确的感受，不断的感受，便成了不同的体感，而这种体感被固定下来之后，就成立相应的量的量感。

在重量这个属性量中，定量把握的量有克、千克、吨。显然，方便体感的单位便是千克，克因为太轻无法感受，吨因为太重也无法感受，千克因为可感受便容易建立体感。

以千克这个体感为基础，通过10个、100个、1000个的数感支撑，就可以较好地达成对吨的量感的建立。

物的属性有很多，比如重量，比如长度，比如大小等等，更重要的是，物始终是以数的方式存在的，因此，数本质上也是物的一个属性，因此，数也是与重量、大小一样，是一个属性量。

长度这个属性量是定性刻画的结果，这个属性量下面有许多定量把握的量，比如厘米、分米、米、千米。同理，数这个属性量同样是定性刻画的结果，这个属性量下面也有许多定量把握的量。比如个、十、百、千等，这些我们平时认为的计数单位，本质上是定量把握的“量”而已，连带着后来的0.1,  0.01也都是一样的。

因此，数感属于量感的范畴，数感不是独立于量感的一种认识。

我相信，很多老师会无法认可，数感本质上只是量感的一种。

在小学数学的学习过程中，关于量感缺失带来的问题是比较多的，主要表现在以下几个方面。

长度、面积与体积混淆包含两个方面，一方面是计算公式的混淆，第二方面是计算单位混淆。

计算公式，计算单位都是认识的末端部分，末端部分的清晰，取决于认识根部的清晰，而线、面、空间的三个属性量的认识所形成的量感，便是孩子将周长、面积、体积混淆的根本原因。

很多小朋友在问题解决的列式中，加、减、乘、除是心里没底的，如果加法错了，他就换成减法，如果减法错了，他就换成乘法，反正四个运算换下来总会有一个对的，这种现象的原因是对运算量缺乏量感的支撑引起的。

在教学中，老师总是告诉孩子们一边读题一边圈出关键词，如果“共”就用“加”，如果“每”就用“除”，这样的结果是孩子们的数学学习越来越零碎。

 在单名数、复名数、单名数与复名数的互化中，学生觉得十分难，总是要做错，比如0.5小时总是化成50分钟，就是属性量的量感缺乏，单位从高到低乘进率，单位的高低总是不清楚，其原因便是定量把握的缺乏，导致量感缺失而形成的。

……

这些困难与错误的改善，我们平时都怪学生不认真，不仔细，其实孩子们自己觉得十分认真和仔细了，真正的原因正是量感的缺乏。因此，重视量感的培养是有意义的。新课程标准中对量感的强调是符合数学教学的需要的，而研究量感与量感的培养，是我们每一位小学数学教师应尽之事。

（作者系浙江省金华师范学校附属小学校长）

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重视量感，十分关键

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