数学的意义与数学教育的价值
一个人，从小学、中学甚至到大学，都得学数学。为什么要学这么多数学呢?其意义究竟何在?
社会公众对于数学与数学教育的意义缺乏足够的了解，甚至存在许多误解。一般地，人们容易看到各种技术的进步及其对社会发展与人类生活带来的好处，而看不到背后的重要支撑——基础科学，尤其是数学。这里也有一个舆论问题，关于数学的意义，数学界缺少面向公众的、正确而简明易懂的解释。在我国，哥德巴赫猜想家喻户晓，人们误认为数学是研究那些古老难题的学科，没有多大实际用途，充其量是为国家争光。相当多的家长与学生认为，数学仅仅是为了升学而不得不学的东西，对于未来就业与工作并没有多大用场。下面就这些问题谈谈我的看法。
一、数学的应用
什么是数学?数学是一门演绎科学。它的研究对象主要是“数”与“形”。一百多年前，恩格斯就曾给数学下过一个定义：“数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。”一百多年过去了，数学的发展使得数学的研究对象，已经远远超出了“数”与“形”的范畴，于是出现了一些其他定义。但是，我依然认为恩格斯的说法，是对数学的较好概括。这是因为，无论如何，数学首要的和基本的对象是数量关系和空间形式，恩格斯的说法明确地指出了数学与现实世界的联系。
伽利略说过：“大自然，这部伟大的书，是用数学语言写成的。”自然界中的一切事物，都有“数”与“形”两个侧面。因此，数学所描述的数量关系与空间形式，就自然成为物理学、力学、天文学、化学、生物学的重要基础，数学为这些科学提供了描述规律的语言和探索未知世界的一种工具。
回顾科学发展的历史，就会发现，物理学、天文学、力学的任何重大发展无不与数学的进步息息相关。比如，牛顿力学，特别是万有引力定律的发现，依赖于微积分创立；而爱因斯坦的相对论则以黎曼几何为其基础。著名数学家黎曼曾经指出：“只有在微积分创立之后，物理才发展成为一门真正意义下的科学。”
与其他基础科学相比，数学最重要的特征是其研究对象的抽象性，它决定了数学的其他特征，并使它区别于自然科学。
任何数字都是抽象的，它舍弃了观察对象的一切其他属性，而只关注其数量。数字“l”既可以代表一个苹果，也可以代表一只羊，或一座山。数字“1”就是忽略了苹果、羊、山等事物的差异，而只从数量上加以抽象。从具体数字再发展到一个代表量的文字“z”，是进一步的抽象。至于函数y一厂(z)，则是更进一步的抽象。在几何中的点、直线、圆、平面同样是对现实世界中事物的抽象，同样是人们为描述现实生活中某些事物而创造的一种语言。比如，在世界地图上，北京可以看成一个点，而在中国地图中，天安门可以看成一点。因此，数学中的“点”实际上就是我们所考察的事物位置的抽象，它没有大小，没有面积，只有位置的不同。
数学研究对象的抽象性决定了它的应用广泛性。1+1—2不仅适用于苹果、羊、山，而且适用于一切事物。一个函数y—Asin c衄可以代表电场的电流或电压的变化规律，也可以代表某种波动的规律。许多完全不同事物提出的问题可以归结为同一个数学模型。
数学研究对象的抽象性又决定了数学的演绎性。在生物学中，要断言麻雀有胃并不难，只要解剖几个麻雀就足够了，而在数学中，要说明勾股定理成立，不能只靠验证几个直角三角形，而需要证明。当然，数学研究中，在其探索阶段或许会用到归纳的办法。但是，归纳出来的结论，不能作为定论，而只能作为一种猜测，有待于将来的证明或者否定。这就是说，数学中要确立一条规律只能依靠严格的逻辑推理，而不能靠经验或实验数据，更不能靠人们的直觉或想当然。比如，许多大于2的偶数都可以表成两个奇素数之和，但是不能因此而说一切偶数皆如此。又如，我们测量了很多三角形的三个内角之和等于180。，但是不能因此而得出所有三角形都如此的结论，需要严格证明。
数学的这种精神，早在2500多年之前就确定了——这是古希腊人的功劳。它一直被作为数学的基本精神沿承至今。古希腊人对数学的最大贡献在于，他们认为数学中的每一个命题，都要根据明白无误的假定和事先给定的公理与公设，由形式逻辑推演出来。正是由于有了这种精神，古希腊人才发现了无理数，并导致欧几里得《几何原本》的诞生，使得古希腊的数学成就远远超过了同时代的其他文明古国。后来在欧洲文艺复兴时期，古希腊的这种精神在欧洲发扬光大，并带动了数学与自然科学的发展。比如，微积分的创立、万有引力定律的发现等。
反映这种科学精神巨大成功的一个典型事例是非欧几何的诞生。欧几里得《几何原本》刚一诞生，人们就试图用其他公设来证明欧几里得第五公设即平行公设。相当多的数学家投入这种努力，然而统统都失败了。两千多年的失败，迫使人们放弃这种努力，并从另一个角度考虑问题：放弃平行公设，并把一个与平行相反的命题作为新的公设，这就产生了非欧几何。它从此打破了两千多年来欧几里得几何的“一统天下”，是人类对空间认识的一场革命。它的发展进一步导致了黎曼几何，而黎曼几何成为爱因斯坦的广义相对论的数学基础。
从试图证明平行公设开始，到非欧几何的诞生，再到广义相对论，充分说明了古希腊人所确立的数学精神的巨大意义。数学的这种精神，使人类摆脱了狭隘经验的束缚，促使人们理性地思考与认识世界，并顽强地追求理性的完美。作为数学教育工作者，我们应当全面认识数学科学，反对实用主义。把数学分成“有用的数学”与“无用的数学”的提法，是完全错误的。
中国的古代在数学上有重要贡献，但并没有形成一个演绎系统。在我国，人们认识到科学以及科学精神的重要性，是很晚的事——五四时期。那是在屡遭失败并付出巨大代价之后得出的结论。
由于数学的结论是逻辑演绎的结果，所以数学的结论是永恒的，不会随时代变迁而改变。数学是这样一门科学，它的发展不是对于旧有理论的否定。非欧几何并不是对欧氏几何的否定．两者都成立，只不过是在不同的公理体系下而已。
人们或许会认为，在历史上数学是重要的，但今天是高科技时代，抽象数学已经没有那么重要了。恰恰相反，高科技的发展的基石是数学，而且高科技的发展才使得数学的应用达到空前的广泛。
在高科技时代，自然科学的各个研究领域都已进入更深的层次和更广的范畴，这时就更加需要数学。在这种情况下，一度被认为没有应用价值的某些抽象的数学概念和理论，出人意料地在其他领域中找到了它们的原型与应用。数学与自然科学的关系从来没有像今天这样密切，恩格斯过去所说“数学在化学中的应用是线性方程组，而在生物学中的应用是零”的状况早已成为历史，数学中的许多高深理论与方法正在广泛而深
人地渗透到自然科学研究的各个领域中去。例如，分子生物学中DNA结构的研究与数学中的扭结理论有关，而理论物理中的规范场论与微分几何中的纤维丛理论紧密相关。至于现代理论物理则用到了许多当代纯数学理论。20世纪80年代，美国自然科学基金会曾经指出，当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势。
现在，我们要进一步指出，数学是今天高科技的基础。
20世纪最伟大的技术成就首推电子计算机的发明与应用，它改变了人们的日常生活的方方面面，并使人类进入信息时代。然而，大家公认电子计算机的发明应归功于数学家：图灵和冯·诺依曼。在电子计算机出现之前，数理逻辑中就有一种理想机(后来人称图灵机)，它实际上是电子计算机的雏形。
今天，IT技术已被广泛地应用于人类生活，使我们无处不感到它的存在。然而，享用这些成果的人们却往往只看到技术成果，而看不到这些技术背后起到关键作用的数学。
这样的例子很多。医学上的CT技术，中文印刷排版的自动化，波音777的计算机模拟设计，指纹的识别，石油地震勘探的数据处理，网络系统安全技术等，在这些形形色色的成就背后，数学都扮演着十分重要的不可缺少的角色。数学在这些领域内不是一种可有可无的参考，而常常是问题的关键。
1985年，美国国家研究委员会在一份报告中指出：数学是推动计算机技术发展和促进这种技术在其他领域应用的基础科学，还强调指出，数学是一个大有潜力的资源，有待人们去大力开发。该委员会把数学与能源、材料等并列为必须优先发展的基础研究领域。
前美国总统科学顾问艾德华·大卫说过一句重要的话：很少人认识到当今如此被广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。这句话不是要否定各种硬件技术发展的意义，而是强调数学在高技术中的关键性，是要强调高技术中数学的不可或缺性。从这个意义上讲，他的见解无疑是正确的，并且是富有远见的。
现在，让我们谈谈数学和经济学及管理科学之间的联系。用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进行市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资，在发达国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在数学中，数理统计学、优化与决策、实验设计、随机微分方程等，都是专门针对这些问题的数学理论。中国科学院从过去的一个数学研究所发展成现在的五个所，越来越多的数学工作者从事跟经济、管理、金融有关的研究。他们在国家的粮食产量预报、外汇管理等一系列问题上，为国家的决策提出了重要参考意见。近年来，我国的许多高等院校都增设统计系，乃至金融数学系。这些现象都反映了数学和经济学、管理学的深刻联系，也反映了社会对于这方面的数学人才的需求。
在经济与金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。大家知道数学没有诺贝尔奖。但数学家却从经济学获得了诺贝尔奖。在诺贝尔经济学奖的获得者当中，数学家占了相当大的比例(21世纪初的统计数字为17／27)。美国电影《美丽的心灵》就是描述了这样一位数学家——纳什。
二、数学教育的价值
下面让我们谈谈数学教育的价值，主要是中学数学教育的价值。
我认为，中学数学教育的目的有以下三个方面：传授初等数学知识；进行逻辑推理训练；培育科学精神。
这里所谓的初等数学，是相对于高等数学而言的。通常，人们把微积分以后的数学称作高等数学，而把此前的数学称作初等数学；其内容应当主要是：初等代数，欧几里得几何，三角函数，解析几何初步等等。目前，许多国家在高中阶段讲一点微积分、概率与统计。尽管如此，中学所讲的数学基本上是以初等数学为主。
中学所讲的这些数学知识是学生在未来的工作与学习所必须的基础数学知识，没有一个坚实的初等数学的基础，要学好高等数学是不可能的。而没有高等数学知识，又怎么学习近代的其他科学的知识呢?不用说理科与工科各个专业，就是一些文科专业，比如，经济类各专业，统计专业，金融专业，以及经济管理专业，同样需要较多高等数学的知识。我们应该看到，用拍脑门的办法制定政策的时代已经结束。一个正确的决定需要一个科学的定量分析，这就不能没有数学的参与，不论你愿不愿意，都是如此。在一些非理科专业工作的而数学基础薄弱的人们，在遇到数学符号与数学理论时，往往束手无策。想要搞清这些概念，为时已晚。数学这门学科有一个特点，即知识的连续性很强。要想懂得高等数学，就得先学好初等数学。而初等数学的学习需要时日，而且需要在少年时代学习，就像学语言一样。过了一定的年龄，再来学语言与算术已经不成了。没有这样的基础的人就只能是一个“心中无数的”人，更谈不上从事较高的专业性工作。
以上是从传授知识层面而言的。然而数学教育的意义远远不只是知识的传授，更为重要的应该是，数学的训练对青少年的心智、潜能的开发与提升，是深刻的、长远的，而且也是其他学科所不能替代的。
说到这里，我们需要专门讲讲欧几里得几何这门课，因为它是最能代表数学演绎精神和数学的教育意义的。大幅度削减几何课的内容与训练是目前实施的课程标准的一大缺失。
初中的平面几何，应该是初中数学教育最重要的一门课。它在整个中等教育占有特殊的地位：在青少年时期，欧氏几何的学习对于一个人的推理能力的训练与严谨的科学精神的养成，是必不可少的。如果一个人不懂得欧氏几何，很难说他懂得数学，也很难说他懂得什么是逻辑推理，就更难说他懂得什么是科学。
有人说，世界各国大多不再讲授欧氏几何，这根本不是事实，纯属误解。而应当说：用什么方式去讲解欧氏几何，什么时候讲，讲多讲少，各国各有不同。欧洲、日本、美国都有自己的做法，各不相同，但是无论如何不能认为世界各国都不讲欧氏几何。
欧几里得几何的原型是欧几里得所编的《几何原本》，出现在公元前270年左右，它是人类文明中的一座辉煌大厦。欧几里得在这本书中构建了人类有史以来的第一个完整的逻辑体系，它的完美、严密、精巧令人赞叹不已。爱因斯坦说：“在逻辑推理上的这种令人惊叹的胜利，使得人类为他们的未来成就获得了必要的信心。”
《几何原本》曾经作为教材，在欧洲使用一千年以上。欧几里得的书被翻译成世界各国文字，其版本之多，发行量之大，继续之久，仅次于《圣经》。千百年来，世界各国都以《几何原本》为基础，编写了各种教材，在初中阶段讲授。其目的在于训练学生的推理能力。用点、线、角、三角形、圆等这些学生容易接受而明确无误的数学对象为载体，训练他们的推理能力，这是一个十分有效的办法。我们不可能用一个国际政治问题、家庭纠纷问题或其他实际问题来训练学生，因为这些问题不仅复杂，而且具有不确定性。当我们鼓励与启发学生独立完成一个几何题目时，实际上就在培养他们的思考能力与探究精神。比如，过圆外一点做一条直线与一圆周相切。学生为了解决它就得不断地分析、试验，逐步到达胜利的终点。这个思考的过程使得他的能力得到提高。
一个中学生在他工作之后，有可能再没有遇到过一个几何题目或一个二次方程，但他从数学课中所培养起来的思考能力以及推理能力，却伴随他的终生。
我国明代科学家徐光启看到了欧几里得几何的教育意义，他把此书翻译成中文，并在出版此书的序言中说：“精通此书者，无一事不可精；好此书者，无一事不可学。”他的话是何等之精辟!
随着科学技术的进步与社会的发展，在人才的选拔上，人们逐渐意识到人的能力的重要性大于其知识多寡，也就说，一个人的能力，即分析问题、解决问题的能力和创新能力，尤其是创新能力，对于一个用人单位而言，更为重要。某些行业，人们越来越青睐于具有较高数学素养的人。近几十年，美国每年都有就业背景统计，数据显示，有数学背景的人才就业率每年都是最高的。这绝非偶然。
数学教育的意义还在于科学精神的培育，就是指概念的准确无误与推理的严谨。在中学里做几何题目时，用一条竖线隔开，左面叙述推理过程中每一步的结论，而右面写出每一条结论的依据。这种训练是十分必要的，应当坚持一定的阶段。在这样的潜移默化之中，学生就养成了不说没有根据的话，或者根据不足的话的习惯。
为达到概念的准确，要求我们对概念有一个规范的叙述，这就是数学中的定义。概念不能含混不清，不能在推理中偷换。数学的结论，应当用定理或命题写出。定理或命题包含两个部分：一是条件，二是结论。若两个三角形有两个内角相等，则它们相似。定义与定理是两件不同的事。定义一件事，可以不涉及它的存在性。比如人们可定义什么叫正托面体。但是，对于不少卵的值，它是不存在的，只有少数几个咒的值，它才是存在的。
近年来，笔者发现部分大一学生分不清什么是定义与定理，更不了解定义或定理的重要性，也不明白为啥要证明。由于初等数学的概念一般较为简单，一般不明确表出“定义”二字，或许还可以理解的。但是不标出定理，把许多重要结论淹没在各种数学叙述之中，而且没有突出出来，并且一般没有明确的证明，这是不妥的。
科学精神的培育要求科学地提出问题。一个愚蠢的问题会造成许多混乱，并且不利于学生的科学精神的养成。近年来，有些“舶来品”在我们这里很盛行，滑稽的是人家已经或正在取消这些东西，而我们却拿来当做至宝。比如，“一百万有多大?”“一百元在超市能买多少东西?”“20层楼有多高?”“一百万字的书有多厚?”还说什么是为了“培养学生的发散思维”。我只能说，这些讨论既不具有知识性，也不具有任何思维训练的意义，对学生没有任何好处。“以其昏昏，使人昭昭”，那是不成的。
科学精神包含着科学的怀疑，而怀疑正是思考的开始。马克思和笛卡儿都讲过这一点。但是我不赞成什么发散思维与逆向思维的提法。
科学知识应当具有一定的系统性。把本来系统的代数与几何的知识打碎，然后混杂在一起讲，今天讲三条线八个角，明天讲合并同类项，后天讲坐标，美其名日“打破学科界限”，“不断重复，螺旋上升”。这些做法是非常不当的。
一堂好的数学课，当然应当生动、有趣，课堂活跃，吸引学生的参与也是重要的。但这仅仅是一个手段，而不是我们的目的。仅仅是课堂活跃，而所讨论的问题没有价值，同样不能算是一堂好的数学课。
数学的应用当然是重要的。但是，一个真正的实际问题往往是复杂的，或许比其中的数学还困难。在这种条件下，要不要引到课堂上，就值得考虑。把某类实际问题交给学生去做实践观察，也要慎重，需要权衡得失。
既然数学是一门演绎科学，那么我们的教学活动应当把重点放在概念的准确理解与逻辑的推理上。中学数学概念大多容易被中学生接受，所以，一般说来，没有必要设计一些特殊的场景在课堂演示。这样做会浪费宝贵的时间而得不偿失。
搞好教学改革应当从实际出发，实事求是。衡量教学改革成败的唯一标准是实际教学效果，而不是什么“洋理念”或其“山寨版”，更不是什么“新提法”。
正确的改革应当具有继承性。抛弃自己的优良传统，而贸然用一种没有经过实践检验的东西替代它，那是危险的、有害的。
教育的改革是一个长期的渐进过程。在探索教学改革过程中，改革的尝试必然具有多样性，不能以任何名义强求统一。长期工作在第一线的有经验的教师应当得到充分尊重。他们的经验是可贵的，值得推广。至少他们在教学内容、教学的方式方法，甚至在学时分配上，应该有足够的教学自主权。国家教育部制定的课程标准，既然是“试行”，就应当允许各种试验与不同做法。