大师的数学启蒙书

作者 | 林开亮

来源 | 《数学文化》第4卷第4期，pp. 93-100

我的眼界第一次被拉乌（A. E. Love）教授打开了，……。但我最要感谢他这位应用数学家的是，他建议我阅读约当（C. Jordan）著名的《分析教程》；我永远都不会忘记阅读这本了不起的著作时所产生的惊喜，对我们那个时代的许多数学家来说，这是第一个启迪，而且，在阅读那本书时我第一次体会到了数学的真正意义。从那以后，我就怀有彻底的抱负和对数学的真正激情，以我自己的方式成为真正的数学家了。

哈代（G. H. Hardy），《一个数学家的辩白》 

（A Mathematician's Apology）¹

我从来不读太多的数学文献。多数时候我看文献是想知道其他人都干了什么，看看我能理解些什么，然后按我的方式去构建它。我没有读过几本数学书，但我读过的书都对我起了很大作用。我关注文章胜过教科书。但有一本书对我来说意义非凡，就是赫克（Erich Hecke）的《代数数论》（Algebraische Zahlentheorie）²，我从这本书中学到了很多东西。它是一件珍品。……就代数数论而言，有很多书我都试着去读过，但没有一本符合我看待事情的方式。我发现赫克的书很容易理解，例如他引入和讨论理想这一概念的方式。外尔（Hermann Weyl）写过一部篇幅很短的代数数论的书，朗道（E. Landau）也写过一本同样主题的书。可是，我没有从他们的书中找到舒服的感觉。我喜欢赫克看待事物的方式，他用这种方式干得相当好……

——塞尔伯格（A. Selberg）³

最近，有位高人给笔者推荐了台湾大学物理系教授高涌泉先生的文章《启蒙书》⁴，该文讲述了英国物理学家金斯（James Jeans）的科普书《神秘的宇宙》（The Mysterious Universe）对杨振宁的启蒙作用，让笔者联想到其他科学大师曾经遇到的数学启蒙书。兹就笔者所了解的情况与读者分享这些已成为历史的小秘密。

我们仍然从杨振宁先生说起，他是当代最有成就的理论物理学家之一，从某方面来说，他的物理成就与他深厚的数学功底密不可分，这也许是大家并不太了解的。杨振宁先生的数学才能一方面是受之于他的数学家父亲杨武之，另一方面则是得益于他所接受到的很好的数学启蒙。例如，英国数学家哈代的《纯数学教程》（A Course of Pure Mathematics）就曾给年少的杨振宁以很深的印象。2004 年 5 月 12 日，杨先生在清华大学中文系的无题漫谈⁵中讲到 ：

哈代的《纯数学教程》，有中译本

《纯数学教程》自 1908 年问世以来，在 1914-1952年不到四十年的时间里重版九次，仅第九版就三次重印，而 1952 年的第十版先后重印七次。2008 年，剑桥大学出版社推出了该书的一百周年纪念版，特别邀请剑桥大学的数学教授柯勒（T. W. Körner）写了前言。值得一提的是，自 1937 年第七版开始，哈代在书中收入了剑桥大学学士荣誉学位考试（Mathematical Tripos）的考题作为练习，对正文提供了极丰富的补充。我们借用柯勒的话来向读者推荐《纯数学教程》：

《纯数学教程》第一章讲的是实数的基本理论，这大概就是令杨振宁年少时最为震惊的一章，对一个习惯了轻松阅读的现代高中生来说，也许会感到枯燥无聊，我们用另一个中学生的小故事来鼓励读者。他就是后来成为了一代数学大师的挪威数学家塞尔伯格，刚好这里有一张塞尔伯格与杨振宁的合照。

塞尔伯格和杨振宁

1987 年， 印 度 天 才 数 学 家 拉 马 努 金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）诞辰一百周年，数论专家塞尔伯格应邀在纪念活动上做了讲话⁷，回忆起拉马努金的著作对他的影响 ：

华罗庚是自学成才的大数学家，据他的传记作者王元与杨德庄讲，他初中毕业后在家自学，“所能见到的数学书籍只有一本《大代数》，一本《解析几何》，以及一本约 50 页的《微积分》。此外还有两本与数学有点关系的杂志《科学》与《学艺》。”这些书也许就是华先生的启蒙读物吧，但这些书对华先生的影响应该仅仅停留在起步阶段，其水准也许都不及目前高中数学教学大纲的要求。对于职业数学家的成长而言，更重要的一类启蒙书是那些激发了其研究而不仅仅是学习兴趣的著作。由于品味与风格各异，每个数学家遇到的研究启蒙读物也各不相同。塞尔伯格告诉我们，开启了他的数学研究之路的是拉马努金的数学论文集，那么，真正启迪了华先生刻苦钻研数学的又是哪些书呢？对此，他的弟子徐利治⁹曾有记载 ：

也许可以说，华先生进入近代数学之门主要是靠这三本书的引导。对于这三本书的作者，我们简单了解一下。克里斯托尔是英国人，是十九世纪的大物理学家麦克斯韦（J. C. Maxwell）的学生，而他本人的一个得意门生则是二十世纪抽象代数的先驱之一韦德布恩（J. H. M. Wedderburn）。朗道是德国数学家，他的书写得非常浓缩，几乎全是欧几里得风格的“定义—定理—证明”的模式。特恩波尔与艾德肯都是英国人，特恩波尔有一个名叫威廉森（J. Williamson）的学生，对矩阵论贡献很大；艾德肯是统计学家，《矩阵标准型引论》也曾被许宝騄用作矩阵论教材。

此外，还有一本书对华罗庚影响深远，这就是外尔的《典型群》（The Classical Groups），这一点是他的学生冯克勤¹⁰透露的 ：

比起华罗庚来，陈省身所接受的教育要正规得多。据他在《数学陶冶我一生》¹¹中讲，他 1923-1926 年在天津扶轮中学的四年高中的数学课程有 ：第一年，算术，使用中文课本；第二年，代数，使用霍尔（Hall）与奈特（Knight）的课本 ；第三年，几何，使用文特沃思（Wentworth）与史密斯（Smith）的课本；第四年，三角学和高等代数，分别使用文特沃思与史密斯及霍尔与奈特的课本。陈先生特别提到了霍尔与奈特的《高等代数》（Higher Algebra）¹²：

在其他场合，陈先生提到了该书对他的影响 ⁹ ：

在 南 开 大 学 时 代（1926-1930）， 陈 省 身 在 姜立夫教授的指引下读了一些几何著作，例如库里奇（Coolidge）的《非欧几何学》与《圆与球的几何学》，萨蒙（Salmon）的《圆锥曲线》与《立体解析几何》，以及卡斯泰尔诺沃（Castelnuovo）的《解析几何与射影几何》等。尤其使他着迷的是奥托 • 施陶德（Otto Staude）的二卷本著作《线构造》。

此外，陈省身还读了（至少是浏览了）一些大数学家的论文集，他在为英国数学家阿蒂亚（M. F. Atiyah）的论文集的中国影印版所作的序言中写道 ：

庞加莱、希尔伯特、克莱因自不必说了，这是十九世纪下半叶数学界的领袖。至于胡尔维兹，声名也许不及前三位那么显赫，但他的工作是极其优美的，就连被誉为“数学界的莫扎特”的塞尔（J. P. Serre）都为之击节。特别要提到的是后三位 ：布拉施克、埃利 • 嘉当和霍普夫。1931 年，陈省身成为清华大学的研究生，师从孙光远先生。1932 年，德国几何学家布拉施克应邀来北大开设“微分几何中的拓扑问题”的系列讲座，这使陈省身眼界大开，他在《数学陶冶我一生》一文中曾写道 ：

布拉施克关于微分几何的那些著作为什么特别吸引陈省身，以至于他后来竟去了德国汉堡（既不是英国或美国，也不是作为数学麦加的哥廷根）追随布拉施克念博士呢？2004 年 9 月 3 日，陈先生在事隔 70 年之后回到清华母校所作的公开演讲《我的数学经历》¹³中透漏了原因 ：

1934 年陈省身赴汉堡师从布拉施克，1936 年博士毕业之后去法国巴黎追随埃利 • 嘉当做博士后。至于嘉当对陈省身的影响（只要想一想，埃利 • 嘉当的论文陈省身读了十之七八）则几乎是众人皆知的了，恰如韦伊（A. Weil）所说 ：“在微分几何领域，我相信将来的史学家一定会将陈省身看作是埃利 • 嘉当当之无愧的继承人。”根据笔者了解的情况，霍普夫对陈省身的影响至少有两点 ：第一，他从霍普夫那里了解到，将二维的高斯 - 博内公式推广到高维是“微分几何最重要和最困难的问题”；第二，据比利时数学家吕埃尔（D. Ruelle）¹⁴透露，陈省身曾跟他提起，当他早年念到霍普夫关于球丛的工作时，他感觉到置身于当时数学的前沿 ；他也能够开展原创性工作了。

周炜良 1911 年出生于前清一个贵族家庭，受家庭条件影响，他在中国从没有进过学校。五岁时由一个老先生教他标准的中国典籍，十一岁时开始学习读写英文。他发现能读懂英文的一个好处是，可以接触到几乎任何想学习的知识，他找来美国一些课程的常用课本，在十三岁到十五岁之间，自学了数学、物理、化学、历史、经济等各门课程。周炜良最终说服父亲送他到美国念书。周炜良 1929 年进入芝加哥大学，最初攻读经济学，后来改念物理。1930 年当他大学毕业（一年就毕业了！）时，偶然读到了哈代的《纯数学教程》一书，这本书为他敞开了通向数学的大门。1932 年暑假，周炜良在芝加哥大学修过一门近世代数，用的是范德瓦尔登当时新出的教材《近世代数》，那本书的优雅简明风格给他留下来深刻的印象。1932年 10 月，周炜良来到数学圣地哥廷根，原本打算追随外尔学习数学，结果 1933 年初纳粹掌控了哥廷根，外尔和其他犹太裔教授如柯朗（R. Courant）与诺特（E. Noether）纷纷离开了哥廷根，这个令他向往的数学中心顷刻变得徒有虚名。当周炜良得知范德瓦尔登在莱比锡大学时，他就慕名去了那里。结果，范德瓦尔登将他引到了代数几何领域，周炜良最终也成为了范德瓦尔登最得意的门生。周炜良曾这样回忆恩师¹⁵：

范 德 瓦 尔 登 的《 近 世 代 数 》 是 基 于 阿 廷（E. Artin）和诺特的讲义，其影响是众所周知的，例如法国的布尔巴基学派出版的著作就以之为典范。在西南联大时，华罗庚曾参考此书讲授抽象代数。后来被国人翻译为中文。当代数论大家泰特（John Tate）在为相册《数学家》写的自述中也特别提到了范德瓦尔登的《近世代数》对他的影响¹⁶。

现居普林斯顿的英国数学家怀尔斯以证明悬疑358 年之久的费马大定理而名噪一时。引领他入数论之门的书中有一本是哈代与赖特（E. M. Wright）合著的《数论导引》。与《纯数学教程》一样，该书自1938 年出版以后也多次重版。2008 年，牛津大学出版社出版了经希斯 - 布朗（D. R. Heath-Brown）与希尔弗曼（J. H. Silverman）修订的第六版（添加了一章椭圆曲线的内容）。怀尔斯应邀作序，回忆起该书当年对他的启蒙¹⁷：

柯勒在哈代的《纯数学教程》的百周年纪念版前言中曾特别提到了《数论导引》：

柯勒的话让我们想起《数论导引》的中文版译者张明尧教授的一段译者序言 ： 

现居普林斯顿的数学物理学家戴森在年少时也下功夫读了哈代和赖特的《数论导引》，他尝试证明书上的每一个定理。要知道全书共 400 多个定理，而戴森当时还只有 14 岁！这本书激发了戴森对数论的兴趣，并将他引向拉马努金关于划分的工作。戴森后来虽然从英国移民到美国，从数学转向了物理，并成为了普林斯顿高等研究院的终身教授，但他一直保持着对数论的兴趣，例如，2012 年，将近九十岁高龄的戴森还发表了一篇题为“划分与巨正则系综”的论文。这不禁让我们想起两千多年以前的大诗人屈原在《涉江》里的一句话 ：“余幼好此奇服兮，年既老而不衰。”

不过，正如最初引发了十岁的怀尔斯攻克费马大定理梦想的是贝尔的《最后的问题》，最初激发了年少的戴森的数学家抱负的也是贝尔的一本科普书 ：《数学精英》（Men of Mathematics）¹⁹。戴森曾回忆道 ²⁰ ：

但应该指出（见 ²⁰），引导戴森走上科学研究与写作之路的首要作品是哈代的《数论导引》和《一个数学家的辩白》。戴森本人亦有一本优美的自传问世 ：《宇宙波澜》（Disturbing the Universe）。²¹

《数学精英》,有中译本《数学大师：从芝诺到庞加莱》

贝尔的《数学精英》值得各位读者特别关注，打一个不恰当的比喻，它在数学史上的地位，有似于司马迁的《史记》在中国历史中的地位。《数学精英》以人物为主线，描写了古往今来的三四十位大数学家，例如阿基米德、牛顿、高斯、黎曼、庞加莱等。回想起司马迁写《史记》，编排十二本纪、三十世家、七十列传，也是以人物为灵魂。倘若贝尔当年能够通过他在加州理工学院的博士生周培源了解到《史记》，他一定会将太史公奉为鼻祖。虽然贝尔并没有按等级将数学家按“本纪”、“世家”、“列传”明确分级，但他在书中表达了对三位数学家的最高评价 ：

阿基米德、牛顿、高斯这三个人，在古往今来的所有大数学家中自成一个等级。也许这就是数学史中可以载入“本纪”的三个人吧！从这本书你可以了解到，有各种各样的数学家，例如作为“几何学中的哥白尼”的罗巴切夫斯基、“天才与贫穷”的阿贝尔、“天才与愚蠢”的伽罗瓦、具有“真诚的心灵”的黎曼。还有些篇目则是用对照的写法同时写两个数学家，例如享有“不变量的孪生兄弟”之称的凯莱（Cayley）与西尔维斯特（Sylvester）；“大师与弟子”则用以叙说历史上最传奇的一对师徒 ：德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和他的俄国女弟子科瓦列夫斯卡娅（Kovalevskaya）²²。注意到在《史记》中也有许多篇目（如“廉颇蔺相如列传”）采用了这种对照的写法。此外，也有人说《史记》的文学价值（“无韵之离骚”盖过了其史学价值（“史家之绝唱”），这个评论对《数学精英》也许亦然。在《数学精英》的诸多读者中，最浪漫的一位要属贝尔在加州理工学院的数学家同事博嫩布鲁斯特（H. F. Bohnenblust），他与爱妻（非数学家）度蜜月时曾为她朗读其中的篇章。

贝尔的《数学精英》开创了数学史写作的新方式，很多人开始仿效贝尔的风格写数学史，其中卓有成就的是瑞德（Constance Reid），她是朱莉娅 • 罗宾逊的胞妹（恰如杨振宁年少时曾给弟弟妹妹读《数学精英》一样，朱莉娅也曾给妹妹瑞德读同一本书），以四本数学家传记著作（前三本皆有中译本）而闻名 ：《希尔伯特》、《库朗 ：一位数学家的双城记》、《奈曼》、《朱莉娅——遨游数学的一生》。瑞德还追踪摄影访问贝尔的后人和同事，写了一本《追寻贝尔》，对身兼数学家与诗人双重身份的贝尔感兴趣的读者可参考此书。考虑到贝尔的诗人身份（John Taine 是他的笔名），可以猜出，他也许对魏尔斯特拉斯情有独钟，因为他在“大师与弟子”的结尾特别引用了魏尔斯特拉斯的话来为追求完美的数学家作辩解 ：

本文主要是介绍一些大数学家、科学家的数学启蒙读物，它山之石可以攻玉，也许年轻人可以借鉴。当然，每个作者有他独有的风格，每个读者也自有他天生的品味，唯有当这两者“性相近”时才能引起读者的共鸣，让读者吸收相当的能量从基态（也可以称为惰性态）跃迁到激发态。当笔者念大一时，老师提起过的唯一印象深刻的课外书是吉米多维奇（B. P. Demidovich）的《数学分析习题集》，翻开那本书，我只想闭上眼睛。幸而图书馆里收藏有许多其它风格的书——这里要特别推荐的是柯朗与罗宾（H. Robbins）合著的《数学是什么》²³、拉德梅彻（Hans Rademacher）与托普利兹（Otto Topelitz）合著的《数学欣赏》以及波利亚的《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》等中译本——是愿意去读的，不然今天我不至于还在继续学习数学。也许，我们在中学的图书馆就有必要展示给学生各种各样的有趣的数学书，正如塞尔伯格在印度科学院院刊《共鸣》（Resonance）发表的文章中所热切呼吁的⁷：

拉马努金的传奇固然不可复制，但我们应该尽可能地提供一些机会，让青少年接触到各种风格的有趣的数学书，让他们在较早的阶段获得启蒙。念书时如果能有幸经历像哈代读若当的《分析教程》那样的感受，也许就算是上路了吧！

感谢杨振宁先生为作者提供了他与塞尔伯格2006 年于普林斯顿高等研究所公共休息室的合影。感谢德国比勒费尔德大学数学系的欧阳顺湘老师，与他的交流让我获益匪浅，事实上，他的文章启发了作者筹划本文。重庆大学数学院邵红亮老师、中央民族大学数学系王兢老师、清华大学数学科学中心的张超博士后、首都师范大学数学院赵洁博士对初稿提出了诸多建议，特表感谢！