数学的基本原则

作者：伍鸿熙

本文为《凤凰涅槃——让核心数学标准焕发生机》附录一。

我认为数学有五个相互关联的基本原则．中小学教科书和数学教育文献常常违背这些原则，所以教师只有知道这些原则，才能教得好．

1.每个概念必须精确定义，而定义构成逻辑推理的基础．

目前，中小学数学忽略定义已经达到了这样的地步：许多教师对定义和定理的区别一无所知．与我一起工作过的成百上千的教师有一个普遍的认识是，定义只不过是“多了一个需要死记硬背的东西”．中小学数学中许多非常重要的概念没有得到正确的定义，或者是就算定义了也没有用作推理的一部分．这些概念包括数，有理数（在中学），小数（在小学高年级，作为一种分数），比较分数大小，分数乘法，分数除法，长度－面积－体积（不同年级），一条直线的斜率，半直线，方程，方程的图象，函数之间的不等式，一个正数的有理指数，多边形，全等，相似，抛物线，反函数，以及多项式．

2.数学表述要精确．在任何时候，什么已知什么未知很清楚．在中小学数学中，教科书和其他教学资料里有太多地方混淆了什么是对与什么是错的分界．启发式的讨论常常误被混同为正确的逻辑推理．例如，对于正数和，等式通常如下解释：为和赋一些具体的值，然后对于这些值用计算器验证（等式）．这样的方法是缺乏数学本质的，因为它没有考虑可能会有其他的和值使得等式不成立．

3.每一个断言都能用逻辑推理来证实．推理是数学的命脉，是解决问题的平台．例如，位值制的规则是我们选择的数数方式的逻辑结果．由于选用10个符号（即0到9），所以为了数到更大的数，我们不得不使用多于一个位置（数位）．就中小学数学中经常缺乏推理而言，如果教师们还没有经过培训去让学生持续地使用逻辑推理，我们怎么能要求学生解决问题呢？

4.数学是连贯的；它是一张编织紧密的挂毯，其中所有概念和技巧逻辑严密地编织在一起，形成一个统一的整体．数学教师的师资培训通常要么强调过程（过去），要么强调直觉（现在），但不强调数学的连贯结构．而这可能是数学中大多数教师（而且我敢说，数学教育的教授也一样）都觉得最难以捉摸的一个方面．比方说，在中小学，缺乏对数系连贯性的意识，（自然数，整数，分数，有理数，实数和复数），会导致分数的教法“不同于”自然数，从而学习分数与学习自然数变得几乎完全分离．同样地，一些数学教育者（以及教师）拒绝明确地给孩子们讲授标准运算法则，可能是由于他们不知道这些运算法则中的连贯性：所有标准四则运算的本质是把任意自然数的计算化归为一位数的计算．

5.数学是目标明确的，并且每个概念或技巧都有其目的．教师们认识到数学中充满目的性，也就获得了另外一种方法使得他们的课更引人入胜．打个比方，当学生把配方法仅仅看成是获得一个二次形式的技巧，而不是二次函数研究的中心思想时，他们对这个方法的理解就非常肤浅．数学是一组相互关联的纽带，其中每个概念或技巧是某条纽带中的一个结，所以，每个概念或技巧可以作为支持沿着这条纽带下去的另一个概念或技巧的目的．学生应当开始自己发现，数学课程是有目的而来的．