对美的追求：张益唐破解了纯数学的一个神秘 | 获得传主肯定的译文

林开亮 译

可乐数学按：几年前我们获知张益唐先生在孪生素数问题上取得突破之时，异常激动；当进一步得知他的传奇经历时，更是感动。当时《数学文化》联合主编汤涛教授利用候机时间，在网上写作，一气呵成，写成了第一篇中文报告作品《张益唐和北大数学78级--- 谨以此文纪念陈景润诞辰80周年；他影响了那个难忘的时代》。后来就越来越多相关文字。英文的也不少。这一篇译文的原文就是其一。想必很多读者对张先生的故事也熟悉了。但他的治学精神是我们永远的激励。读起熟悉的故事，感动依然。因此，我们还是决定再发一次张先生相关的文章。尤其难得的是，此译文已经得到传主的肯定。

我们感谢林开亮博士授权发布，此处略有编辑，加入了一些图片。林开亮博士现为西北农林科技大学数学系年轻而很有作为的教师。在数学的普及方面做了许多工作，翻译、写作了很多著作。例如，他与合作者翻译了《数学家画册》、《数学家的大脑》等。

译者按：本文是对2015年2月2日《纽约客》上的张益唐专访The Pursuit of Beauty:Yitang Zhang solves a pure-mathmystery. 的全文翻译。原文作者 Alec Wilkinson。作者曾在文末注明：An earlier version of this article misstated the name of thedocumentary about Zhang. 感谢蔡天新教授告知，网上已经有编译过来的其他中文版：张益唐：天才的证明。【译者林开亮在翻译时曾请教不少朋友，恐怕仍然有问题，还请各位指教。】

当年我是凭作弊才通过高中数学升学考试的，现在揭一下老底，想必无妨。我只会加减乘除，一碰到方程式和x,y,z我就头大了。考试时，我坐在聪明的同学Bob Isner，Bruce Gelfand，Ted Chapman亦或Donny Chamberlain旁边，他们的书写我能辨认，我的目光扫瞄于他们的试卷和监考老师之间。数学天赋，我是没有，但我的侄女Amie Wilkinson倒是得天独厚，她是芝加哥大学的数学教授。我从Amie那里第一次听闻张益唐的传奇，他是新罕布什尔大学的一位孤独的兼职微积分讲师，因为他解决了一个悬疑150多年的问题而赢得了许多奖项，包括9月份的MacArthur奖。

张益唐在2010年所选择研究的问题来自数论，这是纯数学的一个分支。不同于应用数学，纯数学的研究不怀任何实用目的。它跟艺术和哲学的距离与跟工程的距离是同样的接近。张益唐说，“我的结果没有实用价值。”英国数学家G. H. Hardy在1940年写道，数学“是最质朴和最冷峻的艺术和科学”。Bertrand Russell称它是“挽救苦闷现实生活的收容所”。Hardy坚信数学要有精确的审美观。一个数学证明，如张益唐给出的，“应该像简单而轮廓分明的星座，”他写道，“而不是银河系中杂乱无章的星群。”加州大学伯克利分校的数学教授Edward Frenkel说，张益唐的证明体现了一种“复兴之美”，就是说尽管细节很艰深，但要义很容易理解。在纯数学中追求美是一种信条（译者注：物理学中亦然，如最著名的代表Dirac.）。去年，英国的神经系统科学家发现，当数学家看到他们认为美妙的数学时，头脑中被艺术和音乐兴奋的同一区域也兴奋起来了。（译者注（感谢欧阳顺湘告知）：例如，见Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa 和 Michael F. Atiyah，The experience ofmathematical beauty and its neural correlates,Front. Hum. Neurosci. 8:68.有电子版

http://journal.frontiersin.org/Journal/10.3389/fnhum.2014.00068/abstract.）

张益唐所研究的问题通常被称为“有界距离（bound gaps ）”。它所关注的是素数——即那些只能被1和它自身除尽的数，如2,3,5,7,11等。问题是，是否存在一个长度有限的栅栏（界），使得在无限多个位置——特别是当数目是如此之大，以至于光是把它写下来就要耗费整整一本书的纸张时，它都能卡住两个素数？对于这个问题，圣荷西大学的教授Daniel Goldston、布达佩斯Alfred Renyi 数学研究所的研究员Janos Pintz和伊斯坦布尔海峡大学的Cem Yildirim的联合工作表明，他们比任何人都更清楚是否存在这样一个界以及这个界可能是多少，在2005 年之前，他们的工作是最接近答案的。Goldston说他曾以为有生之年都看不到答案了。“我曾认定那是不可能的，”他告诉我。

张益唐只在2001年发表过一篇论文，但颇受好评。到2010年，他已经55岁了。“每个数学家都应谨记，比起任何其他艺术和科学，数学更是年轻人的游戏，”哈代如此写道。他还写道，“我从没见过哪个年过半百的数学家开创重大的数学进展。”1991年，张益唐在普渡大学获得博士学位，但与导师莫宗坚不欢而散。莫宗坚最近在其个人主页中写了一篇文章描述了张益唐的研究生时代(译者注：见http://www.math.purdue.edu/~/ZhangYt.pdf)：“从他的眼睛中，我看到了一颗不安的心，一团燃烧跳动的火焰，一个想抵达北极的探险者。”没有莫宗坚的支持，张益唐离开了普渡，又因为从未发表一篇论文，他无法找到学术职位。他交替住在肯塔基州列克星敦和纽约的朋友那里，偶尔有临时工作。在肯塔基，他加入了一个关注中国民主的小群体。他们的口号是：“自由、民主、法治、多元”。群员中有一个是实验室的化学家，开了一家赛百味（Subway）连锁店赚钱。另一个群员告诉我，“因为张益唐是数学天才，所以被请去帮忙。”张益唐揣着书到店里。“当生意很忙时，我帮着收银。”张益唐最近告诉我。“虽然我会做三明治，但我很少干那个活。”不上班时，他会去肯塔基大学的图书馆，阅读代数几何和数论的期刊。

“有好几年，我没有真正坚持我的数学梦想，”他说。

“想必你过得不太愉快。”

他耸耸肩：“我的生活并不是一帆风顺。”

1999年，在一位朋友的帮助下，张益唐终于在新罕布什尔大学谋得一个职位。在2010年选定了素数间隙问题之后，他并不确定该从哪里入手。“我在想，门在哪里？”张益唐说。“历史上有很多数学家研究过这个问题，都坚信这里应该有一扇门，但没有人找到它。我试着摸了几次，然后开始担心这扇门究竟是否存在。”

“你曾沮丧过吗？”

“我很累，”他说。“不过大多数时候我只是感到平静。

我喜欢一边踱步一边思考。我太太看到我会问‘你在干啥？’我说，‘我在工作，在思考。’她无法理解。她说，‘你什么意思？’”问题是如此复杂，他说“我没办法跟她讲明白。”

据纽约大学理工学院数学教授杨鼎说，数学家遇到难题时就像“在走迷宫。当你想证明一个定理时，有可能你会完全迷失，不清楚下一步你会走到哪里。通常，一旦有某个瞬间你灵光一闪找对了路，你会渴望再度进入新的迷宫继续体验这种喜悦与激动。”

张益唐非常沉默寡言，举止彬彬有礼。最近当我们散步时，他问我“是否可以戴上它？”他所指的是一副墨镜。他举在我面前，仿佛我要先检查一下。对回答关于他本人和他的工作的问题，他没有太大兴趣。在我第一次见他半个小时之后，他说，“我有一个问题。”我们一直在谈论他的童年。他问：“你还有多少问题？”他常常用三个词来答复：“也许吧（Maybe）”， “Not so much（还行）”、和“Maybe not so much（也许还行吧）”。出于羞怯，他经常说“我们”而不是“我”，比如，“我们也许不认为这个方法如此重要。”他不时会在说话前嗯一声。在发表其结果之后，他被邀请到普林斯顿高等研究所访问半年。电影制片人George Csicsery为加州伯克利的数学科学研究所制作了一个关于张益唐的纪录片，叫做《从无穷数起》（Counting from Infinity）。在片中，高等研究所的成员Peter Sarnak说，一天他碰到了张益唐就跟他说了一句hello，张益唐回复了一句hello。张益唐说那是他十天以来对别人吐出的第一个词。Sarnak认为这太极端了，即便对数学家来说也是如此，因此他每周一次邀请张益唐共进午餐。

芝加哥大学的数学教授Matthew Emerton在普林斯顿也见到了张益唐。“我只能说他不是等闲之辈”，Emerton告诉我，“他不善于交际。我的印象是他极其淡定。他得了另一项大奖，因此周围的人都在谈论这件事。也许大多数数学家对获奖都很低调，因为他们并不是奔着得奖去的，但他好像尤其低调。得奖对他好像没有丝毫影响。”杨鼎参加了张益唐2013年在哥伦比亚做的三个讲座。“你本以为像他这样的一个牛人应该会展示或解释他是何等聪明，”杨鼎说。“他做了优美的报告，但一点也没有炫耀的意思。”张益唐关于他的工作的第一个报告是在哈佛做的，在他的论文发表之前。丘成桐教授听闻了张益唐的工作后，邀请他去那里做报告。大约有50个人听了他的报告。其中有一位哈佛的数学教授认为张益唐的报告“简直无法理解。”他补充说，“报告的内容很难谈论，因为一切都有赖于微妙的专业理解。”另一位哈佛教授Barry Mazur跟我讲，他为张益唐的“坚毅和他所表现出的勇敢和独立”所打动。

在新罕布什尔，张益唐的办公室在数学与计算机科学大楼三层。办公室有一张桌子，一台电脑，两把椅子，一块白板和几个书架。透过窗子他可以看到橡树的枝干。书架上摆放着《Hilbert空间引论》（An Introduction to HilbertSpace）和《椭圆曲线，模形式和Fermat大定理》（EllipticCurves, Modular Forms, and Fermat’s Last Theorem）等。也有近代史，他所着迷的Napoleon，中文版的Shakespeare著作，因为这比Elizabeth时代的英文好懂。（译者注：在季理真、翁秉仁的《张益唐专访》一文中，张益唐提到：“我喜欢莎士比亚，过去我读过中译本，觉得真好，到美国后装模作样想看英文原本，结果看不懂，因为按照我在中国学的英文语法是不通的。”）

马萨诸塞波士顿大学的数学系主任Eric Grinberg，在2003-2010年间是张益唐在新罕布什尔的同事。“张益唐非常谦逊，完全没有架子，从不索求什么，”Grinberg告诉我。“我们知道他在研究一些重要的东西。他虽然也用纸和笔，但唯一的备份存放在他的电脑里。每个月我会过去问他，‘不介意我给你做个备份吧？’当然，所有东西都在他脑子里。在那方面，他高于常人。”

他的记忆力是罕见的。他的朋友齐雅格说，“我有时带他参加聚会。但他从不开口，因而引人注目。我说，‘出于礼貌，你必须说话，求你了。’他说，‘我享受你的高谈阔论。’半年后，他能说出谁坐在哪里，谁开始了谈论，并且能够复述出他们所说的话。”

“我可能认为社交是在浪费时间，”张益唐说。 “当然，也许我还有点腼腆。”

几年前，张益唐卖掉了他的车，因为他实际上用不着。他在离学校只有四里的地方租了一套公寓，上下班跟学生一起坐校车。他说坐在车上他可以思考。一周七天，他早上八九点钟到办公室，晚上六七点回。他不思考数学的最长时间是两周。有时他早上从前一晚入睡时所考虑的问题中醒来。他的办公室外有一条长长的走廊，他喜欢来回踱步，有时他会去外面散步。

张益唐在长岛的一家中国餐馆遇见了与他结发12年的妻子，她曾是那里的一名服务员。她也是中国人，自称Helen，而张益唐则自称Tom。（译者注：Tom跟唐读音相近，看来他很爱他母亲。Helen是希腊女神的名字，也有火把、光亮的意思，也许可以解释《假如给我三天光明》（Three Days to See）的作者Helen Keller名字的来由。）张益唐说，一位同时认识他们的朋友把他带到了这家餐馆，并把Helen指给他。朋友问他，“这个姑娘怎么样？”Helen当时也在考虑张益唐。为了追求Helen，张益唐有好几个月每个周末都去纽约。第二年的夏天，Helen来到了新罕布什尔。然而，Helen不喜欢那里的冬天，于是搬到了加州，在一家美容院上班。她和张益唐在圣荷西有房子，学校放假时张益唐就在那里度假。

在去年凭借他的证明被提升为教授之前，他的饭碗是很不稳的。“我从前是新罕布什尔的系主任，但我必须不时地提醒他，他还没拿到永久职位。”Eric Grinberg说。“我们都很感激他，但那不能保证他可以继续干下去。他一直说他很享受在新罕布什尔的时光。”张益唐投身于素数间隙问题已经两三年了，但仍然没有找到门。“我们看不到任何希望，”他说。然而，2012年7月3日下午，他“在五到十分钟之内，豁然开朗了。”

当时张益唐在普韦布洛拜访朋友齐雅格，他是科罗拉多州立大学的音乐教授。几个月前，齐雅格曾提醒张益唐曾答应抽一天时间来教他儿子Julius学习微积分，因为Julius马上就要上高三了。齐雅格打电话给张益唐问他“你还记得这个承诺吧？”于是张益唐在齐雅格家里待了一个月。每天上午他指导Julius学习约一个小时。“他没有固定的教程，”Julius告诉我，“内容只是从他的记忆里流出来。有一次他提到，他的电话本上没有一个号码，因为他全都记住了。”

张益唐原打算在科罗拉多中断研究放松一下，因此没有带任何笔记。7月3日，他正在齐雅格家的后院散步。“我们家在山上，鹿出现了，而他抽着香烟，凝视着鹿，”齐雅格说。“没有鹿，”张益唐说，“只是漫步和思考，这是我的方式。”有大约半小时，张益唐忘怀天地地溜达着。

在1945年出版的《数学领域中的发明心理学》中，Jacques Hadamard 引用了一位数学家的说法，“通常对我来说，尤其是当我一个人的时候，我发现自己置身于另一个世界。各种数学想法好像活了一样。突然，各种问题带着它们的答案自动出现在我眼前。”在齐雅格家的后院，张益唐体验到类似的经历。“我看见了数字、方程式，甚至还有——很难说清楚那是什么，”张益唐说。“一些非常特别的东西，也许是数字，也许是方程式——一种神奇，亦或是幻象。我领悟到，尽管有一些细节尚需填充，但我们将有一个证明。然后我回到了房间里。”

张益唐并没有对齐雅格提起他的突破。当晚，齐雅格要指挥普韦布洛国庆音乐会（译者注：美国国庆7月4日。）的带妆彩排，张益唐跟他同去。“音乐会结束后，他不停地低哼着《星条旗永不落》，”齐雅格说，“他只是在慨叹‘多美妙的旋律啊！’”

我问张益唐：“你一定很聪明吧？”他说“也许吧，有点。”他1955年出生在中国上海，母亲是政府的一名文秘，父亲是大学的电气工程教授。孩提时他就“想知道一切数学，”他说，“他非常喜欢数学。”他的父母因工作而迁到北京，张益唐留下来跟外婆住在一起。文化大革命期间，学校关闭了。他把大多数时间用来读数学书，这是他从一家书店订购的，价钱常常不到一美元。他很喜欢一套叫做《十万个为什么》的系列丛书，有物理、化学、生物和数学各册。当他无法读懂时，他说，“我努力自己解决这些问题，因为没有人可以帮助我。”

13岁时张益唐来到北京。15岁时他跟母亲一起下放到农场，在那里种菜。张益唐的父亲下放到另一个农场。如果被发现在农场看书，他会被劝止。“因为大家认为数学在阶级斗争中不重要，”他说。几年后，他回到了北京，在一家造锁厂找到了工作。他开始学习以参加中国最高学府——北京大学的入学考试：“我用了几个月来学习高中所有的化学和物理，几个月来学习历史。这有点仓促。”在23岁那一年，他被录取了。“头一年我们学习微积分和线性代数——这非常令人兴奋，”张益唐说，“最后一年，我选择数论作为专业。”然而，他的教授则坚持让他换到自己的领域——代数几何作为主攻方向。“虽然我学了，但并不喜欢，”张益唐说。“那时在中国，思想依旧如此：个人必须服从集体和国家的利益。他认为代数几何比数论更重要。他强迫我。他是大学校长，因此有特权。”

1984年夏，莫宗坚从普渡大学到北京大学访问，邀请张益唐和其他几位被举荐的学生跟他到普渡做研究。莫宗坚的一个专长是Jacobian猜想，张益唐对此很有兴趣。Jacobian猜想是1939年提出的一个代数几何问题，它保证了在某些条件下，可以求解很复杂的方程组。它的难度被公认为超出了研究生的水平，只有最厉害的代数几何学家敢碰。一位数学家将它描述成“灾难问题”，因为它引发了很多麻烦。作为其博士学位论文，张益唐提交了该猜想的一个弱形式，也就是说，他能证明该猜想的一些推论，但不能证明它本身。

在得到博士学位之后，张益唐告诉导师说他想回归数论。“我当然不高兴，”莫宗坚在给我的信中写道， “然而，学生有权更改研究领域。所以我笑着跟他说byebye。过去的22年里，我没有他的任何消息。”

毕业后，很多中国留学生都进入了计算科学或金融行业。张益唐从前在北大的师弟唐朴祁就在英特尔找到了工作。1999年，他打电话给张益唐。“我觉得他没有学术工作太不公平了，”唐朴祁说。唐朴祁有一位北大老同学，现在新罕布什尔数学系任教。当唐朴祁得知该系正在招聘微积分教师时，他推荐了张益唐。“他决定让张益唐试一下这个临时职位，”唐朴祁说。

2012年末，张益唐完成了论文《素数之间的有界距离》，之后花了一两个月的时间系统地核验每个步骤，他说这“非常无趣”。2013年4月17日，在没有告诉任何人的情况下，他把论文投给了《数学年刊》（Annals of Mathematics），这是最权威的数学期刊。

在《年刊》的档案中，有许多没有发表的论文，它们断言解决了每个人曾经思考过甚至是根本不存在的所有数学问题，有的论文作者是一些“知道很多数学，然后废了的人，”一位数学家告诉我。这种人通常断定其他进攻这个问题的人都错了。或者他们宣称自己同时解决了好几个问题，又或者“他们说他们用物理学中的某种统一场论解决了一个著名问题，”这位数学家说。像《年刊》这样的期刊总是怀疑一些名不见经传的作者的投稿。

2013年，《年刊》一共收到了915篇投稿，但只接受了37篇。论文接受和发表之间的间隔通常是一年。当一篇论文送到时， “会被迅速浏览，评判其价值，” 普林斯顿大学的教授兼《年刊》的主编Nicholas Katz告诉我，然后是可能长达数月的严格审稿。“对于我无法评判的文章，我的作用是知道应该去问谁，” Katz说。“在张益唐的情况，得到了迅速的回复，‘如果这是对的，那么它真的很奇妙。但你要谨慎。这家伙从前挂出了一篇论文，但那是错的。他从来没有发表，但也没有将它撤回。’” 审稿人所指的是张益唐在网页arXiv.org上发布的一篇论文（译者注：见 http://arxiv.org/abs/0705.4306.）数学家通常在结果正式发表前会把它公布在网上，以便于它们及早被公示。张益唐在2007年发布了一篇论文，但证明有漏洞。那篇论文考虑的是另一个著名问题，Landau-Siegel零点猜想，他之所以还保留着，是希望有一天能够更正它。

Katz 将《素数之间的有界距离》发送给两位读者，他们被称为审稿人。其中一位是罗格斯大学的教授Henryk Iwaniec，他的领域与张益唐相近。 “我瞄了几分钟，” Iwaniec 告诉我，“我的第一印象是： 有如此多的断言已然错了。我想，我还有其他事情要做。可能我想拖延一下，毕竟他没什么名气。然后我接到了一个朋友的电话，说他恰好也在读同一篇文章。我们原本打算在高等研究所待一周，干点别的事情，但我们被这篇要审的稿子打断了。

”

Iwaniec 和他的朋友多伦多大学的教授JohnFriedlander读得越来越起劲。“在这种情况，你不能从头读到尾，” Iwaniec 说，“你首先要看出，想法在哪里。自2005年以后，关于这个课题再没有任何论文了。 问题很难解决。随着我们读得越来越多，这个工作正确的机率也变得越来越大。大约两天以后，我们开始考察其完备性和关联性。几天以后，我们开始逐行逐行地核验。这个活的目标不再是要说这个工作很精彩，我们在考察这个结果是否确实正确。”

几周以后，Iwaniec 和Friedlander 回复给 Katz，“我们已经完成了对张益唐的《素数之间的有界距离》的研究。”他们继续写道，“主要结果是一流的。作者成功证明了素数分布中的一个里程碑式的定理。”“我们非常深入地研究了论证，但发现，即便是要找出哪怕是一点点的瑕疵也很困难……我们非常荣幸力荐该文在《年刊》发表。”

一接到《年刊》的用稿通知（译者注：张益唐的论文在当年5月21日录用（4月17日投稿，）。按照汤涛教授在《张益唐和北大数学78级》（《数学文化》2013年第2期）中的说法，“这可能是这一顶级期刊的一个纪录了。”），张益唐就拨通了在圣荷西的Helen的电话。“我说， ‘请关注新闻和报纸。’ ” 他说。“ ‘你将会看到我的名字，’ 而她却说， ‘你喝多了吧？’ ”

没有一个公式能够预言素数的出现——它们的行为仿佛是随机的。 在公元前300年，Euclid证明了存在无穷多个素数。如果你设想将所有的数排在一条直线上，素数用红色标记，那么在一开始就有很多红点： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43和 47 是50以下的素数。在100以内有25个素数，1000以内有 168 个素数，1000000以内有78498个素数。当素数越来越大时，它们变得越来越稀疏，而它们之间的距离，即间隙，也变得越来越大。

素数有如此多新颖的性质，如此有魔力，以至于数学家开始迷信它。孪生素数对是间距为2的一对素数。间距为4的两个素数被称为堂表素数对（Cousin primes）， 间距为6的两个素数被称为性感素数对（sexy primes），而中间没有其它素数的两个素数则成为相邻素数对。从Chris Caldwell和G. L. Honaker, Jr.的《素数古珍》（Prime Curios!}（译者注：参见http://primes.utm.edu/curios/）中我还知道，一组绝对素数是这样一组数，不论其数字怎样排列都是素数，例如：199; 919; 991。幸运素数以666作为中心，例如700666007就是一个回文的幸运素数，因为它正着读和反着读都是一样的。一组循环素数是这样一组数，它在数字的循环之下总是素数，例如：1193, 1931, 9311, 3119。还有Cuban素数、Cullen素数和弯曲数字素数—— 其数字全是弯曲的（0, 6, 8和 9）。一个素数如果在删除某些数字以后仍然是素数，就称为可删除的素数，例如1987。反素数是那种反过来写仍然素数的素数，如389, 983。 数字超过一万的素数称为Gigantic素数。 有洞素数是那些数字有洞(0, 4, 6, 8和 9)的素数。 还有 Mersenne 素数、 Pierpont 素数、 Titanic 素数、 Wagstaff 素数、 Wall-孙-孙素数、Wolstenholme素数、 Woodall 素数和 Yarborough 素数等。

《素数之间的有界距离》是对孪生素数猜想的侧面进攻，这一猜想在19世纪被提出，它断言存在无限多对孪生素数对。它至今仍未解决。 Euclid虽然证明存在无限多的素数，但对是否存在无限多对孪生素数没有给出任何信息。张益唐给出了一个距离，使得在无限多种情况下，间隙中有两个素数。

“你不得不想象这是从无到有的改变，” Eric Grinberg 说。 “我们此前一无所知。这就像曾一度设想宇宙是无限的、无界的，却发现它在某处有终结。”用图示的话，间隙就像一把可以应用于数轴的直尺。张益唐选择了一把长度为70000000的尺子，因为一个这样大小的数使得他的证明更容易。（如果要证明孪生素数猜想，直尺的长度就必须是2。）这把尺子在沿着数轴移动时，将有无限多次包含两个素数。这是一种对无限多个数成立但并非对所有的数成立的结果。再给一个例子，有无限多个数是偶数，但并非所有的数都是偶数，还存在奇数。类似的，这把尺子在沿着数轴移动时，也有无限多次不包含两个素数。

从张益唐的结果可以推出，存在一个不超过70000000的数，它精确定义了一个间隙以分离无限多对素数。一位数学家告诉我，可以用鸽笼原理来推导这个结果。你有无限多只鸽子，即无限多对素数；你有70000000-1=69999999个笼子：有间距为2,3,4,等直到70000000的笼子。每个鸽子只进一个笼子。最终某个笼子一定有无限多只鸽子。但无法确定究竟是哪个笼子。也许有许多这样的笼子，甚至可能有699999999个笼子，但至少有一个笼子里有无限多只鸽子。

在发现存在这样一个间隙后，张益唐对寻找定义了这一间隙的最小数不再感兴趣。这在他看来只是技术性的工作，一种体力劳动——卓越的数学家称之为“穷追猛赶”。然而，在张益唐的工作宣布一周之内，世界各地的数学家竞相寻找最小的数。这一动态为加州大学洛杉矶分校的教授陶哲轩所注意到。陶哲轩有一个合作研究项目的主意，数学家在其中可以降低这个数而不是“争抢头功”，他告诉我。

这个项目，称为Polymath8，在2013年三月启动，持续了大约一年。有赖于年轻的英国数学家James Maynard的工作，参与者有效地将这个界降低到246。“当界降低时产生了一些问题，”陶哲轩说，“需要用到越来越多的计算机——有人甚至让一台高效率计算机运行了两个星期才得到计算。理论方面也存在一些问题。用现有的方法，我们无法得到比6更好的界，因为无人知道如何克服一个称为奇偶性问题的障碍。” 奇偶性问题说，具有某种性态的素数无法用现有的方法探测到。“我们从未坚信可以将界降低到2从而证明孪生素数猜想，但这是一段有趣的历程，” 陶哲轩说。

“数学家是否应该具备某种天赋？”

“专注。” 张益唐说。我们在细雨中漫步校园。 “你还应该永不放弃你的个性，” 他接着说， “也许你面对的东西非常复杂，篇幅很长，但你要能通过直觉抓住要点。”

当我们抵达张益唐的办公室时，我问他如何找到这个问题的门的。他在一块白板上写下“Goldston-Pintz-Yildirim"和"Bombieri-Friedlander-Iwaniec”。 他说， “第一篇论文讨论了有界间隙，而第二篇论文讨论了算术数列中的素数分布。我把两篇论文放在一起比较，加上我自己的创新，基于图书馆的多年阅读。”

当我问Peter Sarnak张益唐是如何得到他的结果时，他说 “他所做的一度被认为难以企及。40年前也许这个问题是毫无希望的，但在2005年 Goldston-Pintz-Yildirim 把它推进到“仿佛若有光”的境地。每个人都在想，现在我们非常接近了，但直到2011年之前没有人取得任何进展。 Bombieri, Friedlander和Iwaniec 做了另一项重要工作，但貌似无法将他们的思想与Goldston等人的工作联合起来。Bombieri-Friedlander-Iwaniec的结果作为魔杖还不够灵活——它受一些附加条件的牵制。这时张益唐单枪匹马地出现了。许多人像使用电脑一样使用定理。他们认为， 如果它是对的，好，我用它就是了。然而你无法使用 Bombieri-Friedlander-Iwaniec的定理，因为它缺乏弹性。你必须相信我，因为即便是对于一个严肃的数学家来说，这一点也很难解释。张益唐对其中的技巧有深入的理解，他能够改良Bombieri-Friedlander-Iwaniec，从而 搭起一座桥。这是他在数学方面做的最有意义的事情。他使得关于素数分布的 Bombieri-Friedlander-Iwaniec 技巧成为了任何素数研究的一个工具。 始于18世纪的一项数学进展通过他得到了延续。”

“我们的条件需要放松，” Iwaniec告诉我。“我们也试过，但无法去掉这些条件。我们没有试多久，因为在失败之后你开始猜测也许存在着某种固有的屏障，因此我们放弃了。”

我问他是否为张益唐的结果所震惊。 “张益唐的工作轰动了学界，” 他说， “他的工作是一项杰作。当我们谈论数论时，美大多源自其机理。尽管张益唐单枪匹马，但他在某种程度上对这些了如指掌。这就是他的惊人之处。他只是神奇地将这些论文中的某些论证往前推进。”

Archimedes的同代人、希腊人Eratosthenes曾发明了一种简单的方法来寻找素数，这种方法被称为筛法。张益唐用到了一种非常复杂的筛法。为利用简单的筛法找到比如说1000以内的所有素数，你只需要写下1000以内的所有的数，然后从中划掉2的所有倍数，3的所有倍数等，最多你只需要划到31的所有倍数。张益唐应用了一种与众不同的筛法。之前的筛法筛除了那些相距很远的数。用那种筛法，Goldston, Pintz和 Yildirim 证明了，总存在两个素数，其距不超过那样大小的素数的平均间距。 他们无法得到一个精确的间隙。张益唐通过利用一种较细的筛法取得了部分成功。

我问张益唐，他是否在研究新的东西。 “可能是两三个我想解决的问题，”他说。“素数间隙是成功了，但我还有其他问题。”

“那将同等重要吗？”

“是的。”

据其他数学家说，张益唐正研究关于Landau-Siegel 零点猜想的不完备结果。“如果他成功了，将更富戏剧性，” Peter Sarnak 说。“我们不知道他究竟离它有多近，但他已经证明了他是个天才。这一点毫无疑问。他还证明了他能坚持多年。有鉴于此，他成功的机率不是零，是正的。”

“许多人都尝试过那个问题，” Iwaniec 说。“但他只属于他自己。无需着急。即便这将耗费他再一个十年，他也能泰然处之。除非你在解决一个已经解决了的问题，只是其解答很繁冗或者其解一开始就很显然，否则你大部分时光都是卡壳的。但张益唐乐意卡得更久一些。”

张益唐的仅对攻克重大问题的偏爱是不过见的。追求终身职位要求学者频繁地发表论文，这通常意味着在一个领域内将个人的工作精细化，而这是张益唐所不情愿的。在其他数学家面前，他没有表现出好胜心，也没有因为其他人都评上了教授、自己多年以来只是一个讲师而不满。朋友当中没有人认为他适合某个终身职位。“我认为他做得很聪明，”杨鼎告诉我。“如果你成为一名优秀的微积分讲师，学校会非常依赖你。你廉价而可靠，没有理由开除你。干了几年以后，你几乎可以闭着眼睛讲课。你会有很多的自由时间思考，只要你对生活没有太高的奢求。当然也有一些人尝试着非终身的工作，但他们通常脑筋有问题、性格扭曲、过着不正常的生活，而且很难打交道，因为他们感觉被人瞧不起。显然，张益唐从未有这种感觉。”

一天，当他沏茶时，我来到张益唐的办公室。他的桌上有一篇带有方程式的论文，论文上搁着钢笔。张益唐手里拿着一个信封，“我收到了老朋友的一封信，”他说。 “我们多年不见，现在他找到了我。”

他从抽屉里拿出一把剪刀，慢慢地剪开信封，如此地小心翼翼，仿佛他在举行一个仪式。 信是用汉字写的。他坐在椅子边缘，慢慢地读着。他放下信，从信封里掏出一张照片，是一家三口，男人、女人和小孩，以窗帘为背景。他把信再读了一遍，塞回信封，放到抽屉里，然后合上。“他的新地址在皇后区，”他说。然后他端起茶杯，吹着茶，透过茶杯上方看着我，仿佛凝视着墙面。

我问起Hardy关于年纪的观察——Hardy还写道，“一个数学家年过花甲也许仍然很有能力，但不能期待他有原创性的思想。”

“这对我不适用，” 张益唐说。 他把茶放在桌上，目光延伸到窗外。“我仍然觉得我有直觉，”他说， “我仍然自信，仍然有一些其它想法。”