【典例突破】再谈将军饮马

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如图，正方形ABCD的边长为2， △ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P. 求PD+PE的最小值， PD-PE的最大值.

图1

解析: 像PD+PE这种形式的最小值，我们一般都是用三角形三边关系来解决. 依据是：三角形任意两边之和大于第三边.

要用这个三边关系来解决问题，首先要构造一个三角形，让PD和PE在同一个三角形内.

这里好多同学会想到连接ED，从而得到PD+PE的最小值就是ED的长度.

这个解法是错误的.

为什么错误？

这需要再一次考察三角形三边关系的特征：

如图2， AB+AC的最小值是BC的长，在什么时候可以取到这个最小值呢？应当是点A在线段BC上时. 如图3，此时AB和AC都在线段BC上.

图2

图3

如果点A和点B、点C在同一条直线上，但是，点A在线段BC外，此时只能有AB+AC>BC，不能取到最小值BC. 如图4

图4

同样，当A、 B、 C三点构成一个三角形时，由三角形任意两边之差小于第三边，知AB-AC<BC. 但是当点A在线段BC上时，还是有AB-AC<BC，只在当点A与线段BC在同一条直线上，而且不在线段BC内部时，才有 |AB-AC|=BC，如上，图4.

现在我们再来解决这道题目.

如图5，因为点P是在AC上运动，所以要求得PD+PE的最小值，直接连接DE行不通，必须找一条线段，使得点P在AC上移动时能够经过它，这里明显有线段BE可以考虑.

怎么构造？

因为四边形ABCD是正方形，正方形具有对称性，所以我们可以考虑连接PB，通过证明△PAB≌△PAD(SAS)，很容易证明PB=PD.

这样PD+PE=PB+PE，它的最小值就是BE的长.

因为△ABE是等边三角形，所以 BE=AB=2，所以PD+PE的最小值为2.

图5

而要求PD-PE的最大值，只要让点P运动到如图6所示位置，此时点P、E、在同一条直线上，且点P在线段DE外.

可以发现PD-PE的最大值其实是DE的长.

下面求DE的长度.

图6

过点E作EF⊥AD. 由△ABE是等边三角形可求得

好了，通过这道题目，小编把利用三角形三边关系求最值的两个主要方法都教给你了，你有没有什么收获？可以把自己的想法及时记录下来. 同时小编也欢迎你留言交流！