七上第2讲 学好相反数，“绝对值”！(上)——典型例题篇

绝对值和相反数一节，是学习有理数运算前的重要内容，其知识点多，概念易混淆，是很多学生的难点，因此，计划用2讲的篇幅，对这一节内容的重难点，易错点做一个归纳！

本讲主要针对这一节的典型例题．

例1

已知|x－3|＋|y－0.5|＝0，求x、y的值．

分析：

根据绝对值的非负性，两个非负数相加，和要为0，只可能是0＋0型，因此，两个绝对值均为0．

解答：

由题意得，

|x－3|＝0，|y－0.5|＝0

∴x＝3，y＝0.5

变式

若|a－3|与|3b－6|互为相反数，求a－b的值． 

分析：

由两式互为相反数，得到两式之和为0，转化为0＋0型． 

解答：

由题意得，|a－3|＋|3b－6|＝0

|a－3|＝0，|3b－6|＝0

∴a＝3，b＝2，a－b＝1

例2

若x与3x－4互为相反数，则x＝_____．

分析：

由两式互为相反数，得到两式之和为0，转化为关于x的方程．

解答：

由题意得，

x＋3x－4＝0

4x－4＝0

x＝1

变式

若|m－2|与－7互为相反数，则m ＝_____．

分析：

由两式互为相反数，得到两式之和为0，|m－2|＝7，此时有两种思路：

一种，可得m－2＝±7，

一种，利用绝对值的几何意义，|m－2|表示数m的点与数2的点之间的距离，距离为7，则数m的点只需将数2的点向左或向右平移7个单位得到．

解答：

由题意得，

|m－2|＝7

m－2＝±7，

m＝9或－5

例3

如果两个有理数的绝对值分别是3和1，求表示这两个数的点之间的距离．

分析：

对于两个有理数，我们不妨设为a，b，数a的绝对值为3，则a＝±3，同理，b＝±1，此时，两个点的距离，就需要分情况讨论，a，b各有2种情况可搭配，总共四种情况．最后别忘了总结．

解答：

设两个有理数分别为a，b，

由题意得，a＝±3， b＝±1，

当a＝3，b＝1时，这两个数的点之间距离为2．

当a＝3，b＝－1时，这两个数的点之间距离为4．

当a＝－3，b＝1时，这两个数的点之间距离为4．

当a＝－3，b＝－1时，这两个数的点之间距离为2．

综上，表示这两个数的点之间的距离为2或4．

例4

已知|a|＝5，|b|＝3，且|a－b|＝b－a，求a、b的值．

分析：

由第一个条件，易知a＝±5， b＝±3，由|a－b|＝b－a，可知a－b的绝对值是它的相反数，则a－b是非负数，a－b≤0，a≤b，从而可以分类讨论，确定a，b的值．

解答：

由题意得，

a＝±5， b＝±3

∵|a－b|＝b－a，

∴a－b≤0，a≤b，

例5

分析：

由文字语言，我们要学会翻译为数学符号语言，互为相反数，则和为0，商为－1．互为倒数，则积为1，绝对值是2，m＝±2，然后分类讨论求值．

解答：

例6

|3－π|＝_____．

分析：

绝对值化简，首先要考虑原式的正负性，正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，显然3－π是负数，绝对值是其相反数．

解答：

|3－π|＝π－3

例7

若1＜x＜5，|x－1|＋|x－5|＝_____．

分析：

由1＜x＜5，可得x－1＞0，x－5＜0，则前者绝对值是其本身，后者是其相反数．

解答：

原式＝x－1＋5－x＝4

例8

若a＜b＜0，化简|a－b|－|a|＋|b|．

分析：

由a＜b，知a－b＜0，故其绝对值是其相反数，a，b的绝对值均为其相反数．

解答：

原式＝b－a－(－a)＋(－b)

       ＝b－a＋a－b

       ＝0

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