拉普拉斯变换中的S是个什么鬼？

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Aha!

A good way of thinking of where the Laplace Transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.——Arthur Mattuck (MIT数学系返聘教授，原MIT数学系主任)

一个比较好的关于Laplace变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。

Pierre-Simon marquis de Laplace

(1749－1827)

(图片来源：维基百科)

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（法语：Pierre-Simon marquis de Laplace），法国著名的天文学家和数学家，他的研究工作对天体力学和统计学有举足轻重的发展。他也是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者，对数学和物理学的发展具有杰出贡献。

学过控制的都知道拉普拉斯变换(Laplace Transform)，但是你们是不是也有疑问，拉普拉斯变换中的S到底是个什么鬼？皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵当年为啥就能想出个这样的数学变换公式？

我是自从接触拉普拉斯变换就一直有这样的疑问，就感觉这种东西很强行，你没有理解却又无法拒绝。直到有一天，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟，膜拜大神！

我们知道，一个幂级数可以写为如下形式：

(1.1)

如果将a_n看成一组离散的函数数列，则上式也可以写为：

(1.2)

把a(n)看成是作为幂级数系数的一组离散函数，上式就可以看作是函数A(x)的构造过程，即，只要输入一个{a(0),a(1),a(2),⋯}序列，就可以输出一个A(x)，其中，x 是输出函数A(x)的自变量。

现在，举一个例子，如果取a(n)=1，即{a(0)=1,a(1)=1,a(2)=1,⋯}那么我们将得到：

(1.3)

有人说上式最后等于1/(1-x)，但这么说其实不准确，因为并不是对于所有的x上式都成立，只有当它是一个收敛级数时才成立！而式(1.3)中x 的收敛域为(-1,1)，所以式(1.3)可以改写为：

(1.4)

再举一个例子，如果a(n)=1/n!，则有：

(1.5)

在这个例子里，x 对于任意实数均成立，其实上式就是e^x在x =0 处的泰勒展开。

从上面的例子可以看出，取一个定义在正整数或非负的整数上的离散函数，然后进行加和操作，结果却能够产生一个连续函数。注意其中的离散函数a_n的变量为n，加和得出的结果却是关于变量x。总之，这是幂级数的一种性质，也属于一种离散求和的情况。

假设让这个求和变得连续而不是离散，即不是让变量n =0,1,2,3…，另外定义一个变量t，并且0≤t＜∞，即t可以为[0，∞)中的任意实数。

如果想用t 取替代n，显然不能再用上面处理离散序列的办法在所有实数上求和，而是要通过积分。即：

(1.6)

我们可以保留这种形式，但是没有数学家喜欢这样做，而且工程师也很少这样做，因为当进行积分和微分操作时，没有人希望其中包含一个指数函数的底是x 之类的积分或微分项，这让人看起来很头疼。而唯一方便的是自然底数e。只有e 才是人们喜欢用来积分或微分的，因为对以自然底数为底的指数函数y=e^a^x进行积分或微分后的结果还是其本身或仅仅是本身乘以了一个系数，满足该性质的函数世界上仅此一家、别无分店！！！想知道e的来源请见《自然底数e怎么就“自然”了》。

因此我们将以x 为底数的指数变换成为以e 为底数的指数形式：

(1.7)

现在，我们再看这个积分，显然，我们写出这个积分当然希望其可解，或者说收敛。毕竟这是一个从零到无穷大的广义积分，我们需要特殊对待，只有当x 是一个小于1的数时该积分才有可能收敛，只有这样，当幂越来越大时，得到的数才会越来越小，所以这里要求x ＜1。然后，我们还希望x 为正值，否则会遇到负幂的麻烦，例如当x =-1，t =1/2时，将得到虚数，这是我们所不愿看到的，所以要求0＜x ＜1，我们这么做是为了让积分收敛。那么在这种情况下，lnx又会是什么样的呢？显然，当0＜x ＜1时，lnx ＜0。

lnx 这个变量看起来貌似有点复杂，我们何不用一个变量去代替它呢？

那么就用s 吧！

现在令s = -lnx 或-s = lnx，因为lnx ＜0，取-s = lnx的话，s 就总为正数了，处理正数当然更符合人们的习惯。另外，我们用f (x )代替a (x )，这样看上去更像我们熟悉的函数形式。我们上面各种替换都只是为了修饰，我们将这些替换代入式(1.7)中，得：