曾 蓉——二元最值里的那些事儿
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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二元最值里的那些事儿
江西省新建二中 曾 蓉
求函数的最值是平常再熟悉不过的问题，而我们时常会碰上给一个二元关系式，求解二元的最值，这也是高考的一个热门考点。不妨以一个引例开启今日的探究之旅。
【分析】条件的给出还是相当的自然简洁，抛出的问题虽是一个2次式，但整体还是比较“和谐”，解题思路也能轻松地获取多种.首先，很显然，多元问题可首要采取化为单元处理的方法，即消元，采用函数思想；其次，若不化为单元，那就保留二元处理，关注到“x+y,xy,x2+y2”是组成重要不等式的主要三个表达式，因此可从重要不等式的角度切入.
【思路一】函数的思想（消元）
（这个问题就这么愉快地解决了！）
【思路二】重要不等式（配凑）
（所求表达式中的x2+y2通过配凑成完全平方式后再利用重要不等式即得出结果，快哉！）
【反思】消元的函数思想及双元的均值不等式都是平常教学的重点，是解决问题的通性通法，需要熟练掌握. 可现实总不是那么地美好，不妨来看下面这一个问题：
【例1】（11年浙江文16）
【分析】看出来了吧，这才是“真题”，总是不让人那么地爽快，还想“消元”？似乎很困难；重要不等式倒是可以试一试.
【思路一】重要不等式（配凑）
【反思一】始终抓住要求的主体“x+y”，不管是“变形”还是“放缩”，一切都向它看齐，胜利也就在不远的前方了。那“消元”真的就行不通吗？若从条件x2+y2 +xy=1中去用一个元表示另一个元，不是不可以，只是需要借助求根公式，那估计就把问题难度加大了，但若从所求的x+y出发，引例中是已知x=y=1，不妨此题中如下操作：
【思路二】方程的思想（设k法）
【反思二】所求的x+y不妨设为参数k，然后则是“消元”，如此“消”法显然比用求根公式来得让人舒坦，接着整理成一个关于x的方程，显然方程必须有解，一切都是顺其自然，毫无违和。若我们关注到条件是一个2次式，所求的又是一个1次式，为让形式上能尽量统一，是否又可以有以下操作呢？
【思路三】化为齐次式（凑“1”）
【反思三】整个过程最为巧妙地在于分母凑“1”的应用，目的便是化为分子分母齐次，再通过分离常数、重要不等式获取最大值，不失为一种妙法！同时不妨思考一下，既然可以平方加高次方化为齐次，是否也可以降低次方化齐次呢？
【思路四】构造向量法
【反思四】通过对条件的变形，配凑成平方和形式，构造向量来降低次方，注意另一个向量的构造结合所求表达式来配系数，技巧性略强，但却可以领略一下向量的强大威力。
下面我们不妨来瞧瞧当年的理科16题：
【例2】（11年浙江理16）
【分析】显然相比于文科题只是一点系数的差别，可别小瞧数学中的任意一点小小的、也许只是一个数字、一个符号，有时会引起天翻地覆的变化，可是思想方法却是不变的。那下面不妨用以上几种思想切入。
【思路一】重要不等式（配凑）
【思路四】构造向量法
数学家波利亚说：“没有一道题目是可以解决得十全十美的，总能剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自已对这个解答的理解水平.”
所以，我们不能说问题“解决了”，也许还有许多有待我们去发现的新“问题”，用新的方法、新的角度去探索；也许永远没有“彼岸”；也许路途是曲折的，但别忘记：沿途的风景总是那么地美好！
曾 蓉2020.9.16
作者曾蓉往期文章链接：
2.抛物线上的动点到顶点与焦点距离之比的最大值试题的几个解法
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