彭光焰——对一道课本例题解法探讨
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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彭光焰
（湖北省广水市第一高级中学432700）
摘 要：在教学中利用好典型例题，引导学生对课本的例题、习题进行多解、变式、迁移、整合、拓展，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。
关键词：函数；最值；思路分析；解法
课本是几代人集体智慧的结晶，它具备相当完备的知识体系和能力架构系统，其中的例题和习题是学生解题能力的核心生长点，有些典型例习题由于其自身所蕴含的数学概念、数学思想、数学方法非常突出。因此，在教学中利用好典型例习题，不仅可以在教学中强化基本概念、定义的教学，还要引导学生重视并运用定义解题，引导学生对课本的例题、习题进行多解、变式、迁移、整合、拓展。因此，在教学中要切实把握好概念教学，这样既能提升学生运用数学概念分析问题和解决问题的能力，又能提升学生数学素养。
一、题目
此题目是《普通高中课程标准实验教科书数学选修 4-5 人教A版不等式选讲》第35页例2。
二、解法探讨
1. 利用柯西不等式函数的最值
的左边为平方和的积的形式，右边为积的和的平方形式，因此考虑运用柯西不等式进行求解。
此解法是人教A版选修4-5提供的。
2. 利用判别式求函数最值
思路分析2: 把函数转化为关于x的一元二次方程f(x)=0。由于方程有实根，故判别式△≥0,求得原函数的值域。
4. 利用三角换元求函数的最值
思路分析4：利用三角恒等式sin2α+cos2α=1,将所给函数转化为值域容易确定的另一函数,进而求得函数最值。
6. 利用方差求函数的最大值
思路分析6: 方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值,充分利用方差s2非负性求函数最大值。
8. 利用拉格朗日乘数法求函数最值
上面探讨可知,柯西不等式法,向量法,方差法只能求出函数的最大值,其它7种方法不仅可以求出最大值,而且可以求出最小值。
三、教学启示
在平时的习题教学中,我们如果善于运用一题多解, 既发挥了例题的最大功效,拓宽了学生的学习视野,培养了学生的综合思维能力和创新能力,也提高了学生应试能力。
参考文献：
[1]人民教育出版社课程教材研究所.不等式选讲（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007年1月第2版：35.
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