邹生书——构造常数数列巧求数列通项

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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构造常数数列巧求数列通项

湖北省阳新县高级中学 邹生书

已知数列递推关系求数列通项公式，尽管递推关系表现形式多种多样，求数列通项的方法精彩纷呈，但求通项的基本思想只有一个，那就是转化和化归思想。根据数列递推关系形式上的特点，采用适当的方法将其转化为新的等差数列或等比数列，求出新数列的通项，进而求出所求数列的通项公式。

非零常数数列既是公比为1的等比数列也是公差为零的等差数列。在数列{a_n}中，若对任意的正整数n都有a_n+1=a_n，则数列{a_n}为常数数列，其通项公式为a_n=a₁。在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数数列，便能简捷地求出通项公式。下面举例说明构造常数数列求数列通项公式等问题的思想方法，供参考。

点评：例1的解法2关键是会解读等积式为常数数列，有整体意识会用常数数列的定义识别就可以了，属于认知理解阶段。而例2的解法2则需要变形两边乘以（n+1）后才能成为常数数列，属于构造常数数列求解通项，是有意识地应用常数数列解题阶段，是创造性思维，思维层次明显要高一个档次。

下面我们再来看一些能够通过构造常数数列求数列通项的例子。

（Ⅱ）对数列{a_n}的通项公式我们有如下两种构造常数数列的求解方法：

法1 先求前n项和Sn，再求通项a_n

构造常数数列不仅可简捷地解决一类已知递推关系求数列通项的数列问题，而且可解决某些与数列有关的问题，举例如下：

例7（2005年广东省高考题改编）

【小结】从以上例题我们可以看出，解这类问题的关键是对递推关系式进行恰到好处的变形，使之成为一个常数数列{a_n}，在构造过程中要有目标意识、整体思想、直觉能力和敏锐的数学眼光，这样才能慧眼识英雄，不至于产生“无缘当面不相识”的遗憾，而是“有情千里来相会”的必然。而且还能无中生有，通过适当变形使等式左右“同构”，从而构造常数数列巧求数列通项，从解题中欣赏数学的奇异之美，体验构造成功后给我们带来的愉悦。