八省联考数学试题评价与复习备考对策（附：数学试题官方参考答案）

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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八省联考数学试题评价

与复习备考对策

来源：小丁话数学

一．总体印象：八省联考不按套路出牌？！

这一份被冠以“反套路”的适应性试题，在笔者看来，恰恰是新高考命题改革的核心指向！从师生对本次考试的反应来看，实际上已充分暴露出当前高三复习备考中出现了一些思维定势——试图将泛滥成灾的后江苏高考模式常见的所有题型摸透练熟，就可应对新高考，殊不知，本次“适应性”考试将沉浸在这种思维惯性下不思进取的保守备考态度，以及对中国新高考改革力度之大的评估、对传统“套题型”的经典复习范式心存一丝幻想，一一彻底击碎.

《中国高考评价体系》中提出了高考改革将以“一核”“四层”“四翼”为考查要求，但落实到具体层面，以何种形式考查学科素养与关键能力，从哪些方面反映应用性与创新性，在师生中依然没有呈现清晰的图景，对于形式上的未知性，令大部分师生在平时备考训练过程中，仍然采取“以不变应万变”的消极策略，大量存有以旧的操作范式或跟风式的模板化题型为主要复习路径，而这样的做法正是在本次考试的高度变革面前显得如此的不堪一击.这份试卷更多承载的是试水、纠偏、引向的功能.

二．特色与亮点初感

这份试题由国家教育部考试中心统一命制，八省数百万高三学生模拟高考程序参加的试题到底想传递什么信息？这份试卷有哪些值得研究的特点？与2020年山东、海南两省的新高考课程卷相比有哪些调整？等等这些问题都需要细细品析.

特色1：试卷呈现简洁明了，真正有“数学味”

数学语言的特点是简洁严谨，不应该拖泥带水.这份试卷正文文字总量不到1400字，这远少于任何一份市面上的高三模拟题.自2019年起，试卷上出现了大篇幅的情境题和文化题，愈演愈烈，大量稀奇古怪的情境题充斥着试卷的卷面，挖空心思的数学文化背景出现在试卷上，这严重挤压了试卷的空间，更挤压了学生静心用数学思维分析问题、用数学语言表达问题的空间，有“去数学化”倾向.本次试题除了20题（大兴机场涉及到欧拉公式）外，并没有涉及那种大量文字堆积的数学文化题，这其实是一个纠偏的信号！数学卷中出现一道这样的题就可以了，没有必要大篇幅考那么人为包装的数学情境题和数学文化题，毕竟数学抽象素养和感悟数学文化也不是在考试的两个小时内就可以测试的.让数学试卷回归数学本性，把更多的时间留给学生进行理性思考，让考试的过程充满“数学味”.

特色2：解答题的命题意料之外，也在情理之中

很多考生做到解答题会有很多不适应，“我的立体几何去哪了？我的平行垂直去哪了？我的空间向量去哪了？”“怎么考双曲线大题？”解答题的风格和平时训练完全迥异.这不正是体现了长期以套路化复习应考导致的惯性做法与高考创新改革之间的落差？立体几何解答题放在实际背景中考查最基本的知识——对几何体的认识，以及运用新信息解决问题的应用题，解析几何考双曲线的几何性质，正是这措手不及的命题变化让很多人吐槽起“大兴机场”、“悲伤的双曲线”.

其实，如此命题反映了考试中心在高考命题时坚决反八股化、反套路化的做法，这样的创新变革之举启示我们：高三复习千万不能考什么就讲什么，就训练什么？

特色3：继续探索新题型及赋分规则

这几年的全国卷在题型及赋分规则上一直在努力做尝试与探索，如多选题、双空填空题、结构不良问题等.本次联考卷中出现了填空开放题，且多选题的选不全由得3分变为得2分.这些尝试笔者认为可能是考试中心根据实际调研做出的一种新探索，填空题中设置开放题可能是取代结构不良问题的一种做法，或者在2021年高考命题时两种方式“二选一”.至于多选题的赋分规则的微调，是基于对高考数据的分析和实际情况而采取的科学做法，这样调整相对而言更公平更合理一点.

特色4：加大学科内部、外部的综合性

《中国高考评价体系》中明确了高考考查要重视综合性，而综合性就体现在知识之间、学科之间的模块性.本次考试出现三角函数、导数的综合题（2019-2020年全国卷也出现过），出现过物理学科与数学学科的综合题.

三.个别具体题目的理解与启示

第6题考查的知识点是二项式定理，但优于二项式个数多，直接死算，耗时费力，若选用教材中的组合数恒等式，则可大幅度减少运算量.（若把式子先用等比数列求和，则可一步到位）。第7题考查抛物线中的运算，如果按部就班死算，同样耗时不讨好，要掌握解析几何的本质，在运算之前发现几何图形的几何性质（两条切线的斜率分别为）后再设点运算（或点差法）则可以减少不少运算量.这两道题是测试数学运算素养的最佳例子，复习要重视通性通法，更要带领学生理解与体会数学运算中蕴含的算理与算法，将数学运算的示范与执行贯穿整个高三复习始终.

第10题考查复数的性质，第13题考圆台的体积公式，这些“冷门”考查给江苏师生一些提醒：千万不可忽视以前江苏不考的那些内容，千万不要认为像“复数”这样的知识点一定就是那种“送分题”.不应对知识点存在“热门”与“冷门”、“简单”与“困难”的偏见来复习.考试中心对这些题的设计就是要矫枉过正高三复习那种急功近利的做法——考什么就讲什么！如此之举，新高考走不通！

正如前文所述，第15题是一大亮点，也是一次新探索，尽管题目简单，但第一次在数学考试中引入“结论开放性”的试题，进一步宣告了数学考试命题形式上的多元性、综合化、创新化的命题趋势.

第16题以“正态分布”在物理量的误差估计中的应用为背景，考查学生对正态分布这一知识点的本质理解，而不是像铺天盖地的那种代公式的“僵尸题”.复习要重视对知识的本质理解，要重视学生在知识迁移能力上的培养.

第20题，学生比较困难的是对“顶点数、面数、棱数”与总曲线率建立联系，需要考生在考试中根据问题情境学习信息后建立模型，这不正是数学建模核心思想的集中体现？同时，也破解了不少师生对数学建模这一核心素养以何种形式出题考查的一大困惑.当然这道题还考查了学生的空间想象能力.（笔者记得在1997年全国化学试卷中也考到足球烯的六边形与五边形的计算问题，与本题有异曲同工之妙.）

第21题，虽然作为解析几何题目的难度不算深刻，但双曲线知识点的出现在这个位置，更是说明复习中不要存有“解几不考双曲线”的绝对化认知（其实2000年全国的最后一题不也是双曲线题），复习中不能有固化的思维定式.这道题昭示新高考在题目顺序、题位等方面，一切都有变数.

第22题，还是以超越函数+三角函数的熟悉载体呈现了不等式恒成立（0/0型）的问题，这道题也启示我们在复习函数时要从函数的结构上（如本题两个函数就是函数之间的加、减运算的方式）去发现、分析和运用相关性质解决相关问题，而不是以上来就模式化的“求导”.

四.联考已过，复习路何去何从？

本次八省联考最大的特点在于“新”，用师生对试卷模式的提前“不适应”，换取对新高考试卷命题形式和考查核心内涵的“适应”，这便是这次联考最大的价值所在.笔者认为在后期复习中要坚持做到：

1.重视方向调整，改变复习策略

理性分析这次联考不止于分数的价值与功能，从命题方向到复习方向，到教学方向到训练方向到都应有根本务实的改变.改变江苏高考那种固定化的复习策略，专题复习要理性思考，专题的制定不应囿于某一个“技巧”，也不应在“知识点”上打圈圈，更多地还是将课标中的知识点全方位扫描，看看平时复习中还有哪些知识点是“忽视”甚至“抛弃”的，要以“预备知识”“函数”“几何”“统计与概率”等模块来俯瞰各复习单元中的知识盲区，重拾对这些知识的系统复习（不是疯狂训练），讲它们整合到相应的模块中去，形成完整的知识体系.

2.重视四基落实，立足数学本质

无论高考题怎么出，无论形式怎么新，重视基础知识，重视基本方法，重视基本思想方法和基本活动经验肯定是永恒不变的.复习中要重视思想与方法的提炼与小结，要加强通性通法的教学力度，摈弃技巧性训练.每周要布置让学生整理消化的规定任务，让学生对复习单元的思想方法真正落实与内化.在解题教学中务必揭示试题背后的本质，用到什么知识？这个知识的内涵和外延分别是什么？你还能提出与之相关的问题吗？等等，通过追问让学生真正理解知识、方法的本质，这样再辅以训练才能有突破.

3.重视思维过程，突出示范引领

在解题教学中要放慢教学节奏，让学生暴露真实的解题思维过程，在课堂上多做：

你怎么想的？

为什么这么想？

还可以怎么想？

你怎么运算（证明）？

一题一课，把问题讲清楚，把过程写明白，把细节揣摩清楚，教师要做好示范板书的工作，重视思维过程的分析与指导，学生在解题中的思维障碍在哪？怎么解决？等等.

下附：八省联考数学试题和官方参考答案