贺凤梅——由一道小题引发的思考与多角度探讨
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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由一道小题引发的思考与多角度探讨
新疆伊犁州巩留县高级中学 贺凤梅
【摘要】高三的复习课，要想取得好的复习效果，很有必要将所学知识进行系统化.而一题多解就可以很好地综合应用所学到的不同解题方法去解答同一道题，经常进行这样的思考和训练，多角度思考和探讨，可以一定程度上拓宽解题思路，培养学生的发散思维，从而锻炼解题思维的灵活性.
【关键词】三角，小题，探讨
一、题目呈现
2021版 高考总复习《优化方案》第59页角度二 弦切互化 例1-2 第(2)小题：
题目：已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ= .
二、总体分析
如果作为一道普通的练习题，学习的伊始，站在学生的角度思考，根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系建立方程组即可得到结论.这种解题方法对于初学者来说，无可厚非.
但作为一轮复习的例题，必定具有一定的示范引领作用.因此，笔者期待能够进行深入思考，从不同的角度寻找解题的突破口，拓宽学生的解题思路，将所学的相关知识进行融汇贯通.通过一题多解，提高学生的思维能力以及运算求解能力.
三、解法探讨
视角一：直接求解
评注：以上两种解法是直接利用同角三角函数的基本关系求解，解题的关键在于熟练掌握同角三角函数的的基本关系，可以利用已知条件，列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的.这种解题方法想法自然，没有思维难度，是初学者首选之法.
视角二：对称设元法
评注：通过对称设元，正负相消，非常巧妙地求出a，结合题设中的已知条件，进一步求出b的值，最终成功求出tanθ.此方法是将求解三角函数问题巧妙地转化为求关于b的二次方程的问题，这是学生所熟悉的,可以让学生尝试，相信学生通过思考与求解，一定可以锻炼自己的思维和解题的灵活性.
视角三：比值换元法
评注:结合以上求解可知，通过比值换元，达到了减元的目的.由题设求出的值，最终成功求解，此方法解题思路比较清晰，只要学生能接触到，是很容易理解和接受的.
视角四、借助万能公式求解
评注:万能公式现在不太常用，如果学生学习基础好的话，在时间允许和精力充沛的情况下，可以给学生推导一下万能公式，再利用此公式求解，从而达到锻炼学生思维的目的.
视角五、借助任意角三角函数定义求解
评注:以上两种解法是由任意角的三角函数标准定义和一般定义求解，主要是理解任意角的三角函数的概念及三角函数定义的应用，可以建议学生尝试一下，进一步领悟任意角三角函数定义的内涵.
视角六、由勾股数3、4、5来求解
评注:这种解法技巧性强，需要有较强的观察能力和推理、运算能力，适合选择题和填空题的快速求解，节省时间.
视角七 、“1”的巧妙替代
评注:以上求解方法其实就是构造sinθ,cosθ的二次齐次式,注意到 cosθ>0，约去，问题得解.
四、解后反思
一道小题的多角度探讨可以很好地拓宽我们的思维.在平时的解题中，注重将知识进行有效串联，充分利用所学数学知识，通过多角度思考，不断更新学习方法，掌握一题多解的技巧，学会自主探索知识，不断强化解决问题的能力.
参考文献
[1]李奕涵.高中数学学习中巧妙利用一题多解提高学习效果[J].农家参谋，2017(14):100
[2]于晓兰.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值与实践的探讨[J].赤子(上中旬).2016(23):209
作者简介：
贺凤梅,女,汉,湖北随州人,本科学历,中学一级教师.研究方向：中学数学.
通讯地址：新疆伊犁州巩留县高级中学
邮政编码：835400
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