胡云端——立体几何中的动态问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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立体几何中的动态问题

湖北省安陆市涢东学校      胡云端

立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜．

1．去掉枝蔓见本质——方法至简

在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键．

例1：如图1，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B₁在平面α内，则点O到线段CD₁中点P的距离的最大值为________．

解析：从图形分化出4个点O，A，B₁，P，其中△AOB₁为直角三角形，固定AOB₁，点P的轨迹是在与AB₁垂直的平面上且以AB₁的中点Q为圆心的圆，

例2 .如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，点P，Q分别在底面ABCD、棱AA1上运动，且PQ＝4，点M为线段PQ的中点，则线段C1M的长度的最小值为(   )

2．极端位置巧分析——穷妙极巧

在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案．

例3在正四面体A－BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________．

解析：本例可用极端位置法来加以分析．

先寻找垂直：记O为△ACD的中心，G为OC的中点，则BO⊥面ACD，EG⊥面ACD.如图2，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所面二面角的正弦值为1.

由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图3)，其正弦值为√2/3.

综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为(√2/3,1].

例4．已知正三棱锥A﹣BCD的外接球是球O，正三棱锥底边BC＝3，侧棱AB=2√3，点E在线段BD上，且2BE＝DE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（　　）

3．用法向量定平面——定海神针

在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角．

例5　在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知二面角A₁－BD－A的大小为π/6，若空间有一条直线l与直线CC₁所成的角为π/4，则直线l与平面A₁BD所成角的取值范围是________．

例6．在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段A₁B₁，AB的中点,O为四棱锥E﹣C₁D₁DC的外接球的球心,点M，N分别是直线DD₁,EF上的动点,记直线OC与MN所成的角为θ，则当θ最小时，tanθ＝　　．

解：如图，设P，Q分别是棱CD和C₁D₁的中点，则四棱锥E﹣C₁D₁DC的外接球即三棱柱DFC﹣D₁EC₁的外接球，∵三棱柱DFC﹣D₁EC₁是直三棱柱，∴其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连结的中点，由题意，MN是平面DD₁EF内的一条动直线，记直线OC与MN所成角为θ，则θ的最小值是直线OC与平面DD₁EF所成角，即问题转化为求直线OC与平面DD₁EF所成角的正切值，不妨设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中棱长为2，

4．锁定垂面破翻折——独挡一面

在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心．

例7　如图5，在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，△ABD沿AD翻折至B₁D⊥DC，点A在平面B₁CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是(   )

解析：如图6，记B₂为B₁在平面ADC上的射影，由B₁D⊥DC可得B₂D⊥DC.记B₂D交AB于点K，则DC⊥平面B₁B₂K.在△B₁DC中，作EM∥B₁D交B₁C于点E，连接AE，则平面AEM∥平面B₁B₂K，平面AEM⊥平面B₁DC，从而点A在平面B₁DC上的射影O在直线EM上．取AM的中点H，

5．觅得规律明轨迹——动中有静

在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段．

例8　如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是⊙O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是(   )

解析：如图8，设⊙O的半径为r，取BC的中点M，则OM⊥BC，MH＝MC.因为AB⊥平面BCD,所以BC是AC在平面BCD上的射影，从而OM⊥平面ABC，得OM⊥MH，于是OH²＝MO²＋MH²＝MO²＋MC²＝r²，即OH＝r，亦即动点H在以O为球心、r为半径的球面上．又因为BH⊥AD，B为定点，所以动点H又在过点B且垂直于直线AD的定平面上，故点H运动的轨迹是圆．

例9．如图，在边长为3正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在正方体的表面上移动，且满足B₁P⊥D₁E，当P在CC₁上时，AP＝　　，点B₁和满足条件的所有点P构成的平面图形的面积是　　．

解：取CC₁,CD的中点分别为N,M，连结AM，MN，B₁N，AB₁，由于AB₁∥MN，所以AB₁NM四点共面,且四边形AB₁NM为梯形，因为D₁E⊥MN，D₁E⊥AM，MN∩AM＝M,所以D₁E⊥面AB₁NM，因为点P在正方体表面上移动，所以点P的运动轨迹为梯形AB₁NM，如图所示：

因为正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的边长为3,所以当点P在CC₁上时，点P为CC₁的中点N，

例10．如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中点，F在CC₁上，且CF＝2FC₁，点P是侧面AA₁D₁D（包括边界）上一动点，且PB₁∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为　　．

6．构建函数求最值——数形结合

在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形．

例11(2016·浙江)如图9，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外一点P和线段AC上一点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P－BCD的体积的最大值是________．

总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程．方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键．化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略．真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功．如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历．

【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

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