郭宏江——高考解析几何非对称问题处理方法初探
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高考解析几何非对称问题
处理方法初探
西安 郭宏江
2021高考迫在眉睫，作为一线老师更应该对学生的应考起到指导性的作用.笔者在教学中针对优等生，提供了一些学生深受欢迎的处理特定数学问题的方法，初步得到一点成效.而解析几何作为高考的第二压轴题，历来是学生的失分题，特别是2020年全国一卷理科20题，非对称形式的出现，导致“韦达定理的失效”，更是增加了试题的难度，笔者对试题做了进一步研究，总结出来一些办法，供各位同仁分享。
下边以2020年全国一卷理科第20题为例，探讨这类问题的处理方法：
第二问解答：第一种方法是绕开韦达定理，那么这道题应该怎么绕开韦达定理呢？那就是设点法，此题当然是设点P(6,y0),写出PA,PB的方程，再分别与椭圆联立求出各自的交点C，D再写出直线CD的方程即可求出直线恒过(1.5,0)，同时验证直线CD 斜率不存在的情况.（这种方法各位同仁自己验证）不足之处是运算量太大.
以下是第二种处理方法：笔者称为“整式型非对称式”
处理方法有二：
第一种方法是使得等号某一边较简单的元出现平方，然后利用点在曲线上，再进行整合，即出现对称式.
（这里也可以出现，方法一样）
可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，(此处整合成可以代韦达定理的形式)
即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0 ①
第二种方法是出现非对称时两边同时平方
证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).若t≠0，
设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3.
以下介绍“分式非对称求值型”的两种方法：
笔者就以这道高考题为背景重新命制了一道题，其目的就是为了解决“分式非对称型求值”问题.
以下是两种处理方法：
第二种方法是在分子或者分母中凑韦达定理，然后部分应用，最后整体约分.具体如下，其中的奥妙各位细细品味：
本文中笔者总结的两种题型可以这样理解，“整式型非对称式”由不对称化为对称；“分式非对称求值型”由不对称求比值；这两种方法共同体现了数学是“对称美”和“非对称美”的有机结合，反映了数学问题的本质.
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