洪一平——指对三角相混合参变分离一统解

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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指对三角相混合参变分离一统解

浙江省平阳中学洪一平

最近看到了几个老师在公众号邹生书数学上发布的指数对数及三角函数混合的恒成立求参数取值范围的几道题, 他们各自提出一些解决问题的方法. 笔者经过进一步的研究, 对这几个问题提供形式统一的创新解法, 并尽可能采用不超纲(如不采用洛毕达法则, 不采用凹凸函数切线等)的方式来解答, 供大家参考. 至于解题过程中出现的熟知的或易证的不等式就不给出相应的证明了.

(注: 此解法通过恰当的指数对数的单独放缩方式, 求出了函数g(x)的下确界, 此时g(x)的最小值并不存在)

问题2: 已知函数f(x)=ae^x+2e^-x+(a-2)x-(a+2)cosx, 当x>0时f(x)>0恒成立, 求实数a的取值范围.

(注:此解法通过恰当的指数的放缩方式, 求出了函数g(x)的上确界, 此时g(x)的最大值并不存在)

问题3: 已知函数f(x)=e^x+ln(x+1)+asinx,对于任意x∈[0, p], f(x)≥1恒成立, 求实数a的取值范围.

解: 易证当x∈[0, p], x≥sinx. 又熟知不等式e^x≥x+1.

设h(x)=e^x+ln(x+1)-2x-1,

(注:此解法通过恰当的指数对数的联合整体放缩及正弦函数的放缩方式, 求出了函数g(x)的下确界, 此时g(x)的最小值并不存在)

(注：此解法中采用先必要后充分的方法, 其中h(x)是a=-2时的f(x), 对导数与原函数分别作了适当的放缩)

(注:此解法中采用先必要后充分的方法, 对导数作了适当的放缩)

通过上面的几个问题, 可以用统一的参变分离法的解题模式, 利用放缩法求出相应的函数的上(下)确界达到解决问题的目的, 有时也可以采用先必要后充分的方法予以解决. 要做适当的放缩, 须熟悉一些基本的指数对数及三角函数的相关的不等式, 通过具体问题具体分析, 加以灵活运用, 达到解题过程清楚明了, 尽量简洁易行. 如能单独放缩就能解决问题那是容易的情形, 有时须整体联合放缩才能达到目的, 而先必要得到的结果能使这个过程变得不那么难一些. 当然, 解题过程若采用洛毕达法则会更简洁, 这是为不超纲刻意避免的.

点评：不等式切线放缩与导数极限定义联手，粗中有细，珠联璧合！

吴祥云老师认为洪老师的上述解法：牛！以前也看到过用放缩求范围，但都感觉不严谨，洪老师的是我看到的最严谨的版本。

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【作者简介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大学应用数学系并于83年毕业, 获理学士学位, 毕业后分配到杭州商学院担任高数助教二年, 85年考上浙江大学应用数学系攻读计算机辅助几何设计专业硕士研究生学位, 89年获得理学硕士学位, 毕业后回家乡任教于浙江省平阳中学, 96年评上高中数学高级教师职称, 曾连续二十多年担任高中数学竞赛及培优辅导员。