邹生书——回归定义破解椭圆双曲线焦点弦问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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回归定义破解椭圆双曲线焦点弦问题

湖北省阳新县高级中学邹生书

在椭圆、双曲线中，焦点弦问题一直高考的热点问题，内容往往涉及焦半径、弦长、定比分点、直线倾斜角等有关概念。在大纲教材中解决焦点弦问题主要有两种方法：解析法和统一定义法。解析法通过联立直线方程和曲线方程组成方程组求解，解析法对运算求解能力的要求大，不少考生因运算能力差而选择放弃，或者因运算出错解不出结果而无功而返。统一定义法是从圆锥曲线的统一定义出发，用余弦函数解直角梯形求焦半径，该解法以焦半径为核心数形结合运算量小是一种比较好的解法，但在课改教材中已删去这部分内容，统一定义法新课改不支持。是否还有符合课改要求的较为理想的解法呢？既然能用第二定义来解答焦点弦问题，那么能否用第一定义来解答这类问题呢？笔者经过研究发现，从椭圆、双曲线的第一定义出发，用余弦定理通过解焦点三角形求焦半径的方法来解答焦点弦这一经典问题，下面与读者一起分享受该解法给我们带来的别样精彩。

1.一道椭圆焦点弦试题的解析法与定义法比较

解法2：椭圆定义与解三角形联手求解

点评：比较解析法与椭圆定义知椭圆的焦点弦问题用解析法求解运算量较大，而用椭圆定义联手解三角形求解则运算量要小许多，可见焦点弦问题回归定义大道至简，这是因为定义本身就揭示了问题本质。

2.运用定义解椭圆双曲线焦点弦问题再举例

例2（2010年高考辽宁卷理科第20题）

例3（2013年高考全国统一考试大纲卷理科第21题）

评注：从椭圆、双曲线的定义出发，用余弦定理解两个焦点三角形求出两条焦半径的长，然后根据这两条焦半径的关系解决有关问题。该解法图形简单运算量小，充分体现了数学知识内在的本质联系，真正起到了化繁为简的作用，该解法是对李邦河院士“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的。技巧不足道也! ”这句名言的最好诠释，突出了“数学概念”在解题教学中的重要作用。

3.推广拓展得结论

同样地，运用椭圆、双曲线的定义结合余弦定理解焦点三角形，可得如下一般性结论。

评注：上述两个定理中的焦半径公式和定比公式，只与焦点弦和曲线本身的几何量有关，而与曲线的方程无关即与坐标系无关，有趣的是椭圆、双曲线的焦点弦有统一的定比公式ecosθ=(λ-1)/(λ+1)。

4.运用结论速解题

至此，对于圆锥曲线焦点弦问题我们有如下比较理想的处理策略：若为选择填空题如能记住公式，则直接用公式可快速解题；若是解答题，则用椭圆、双曲线的第一定义结合余弦定理的方法求解。公式是死的，思想方法是活的，只要掌握了思想方法，即使公式忘记了我们也可以把它推导出来。下面我们用公式来速解几道题目，用方法解题留给读者自己去完成。

例4（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）