黄冈中学三模不等式恒成立参数和取值范围单选题解析

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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黄冈中学三模不等式恒成立参数和

取值范围单选题解析

湖北省阳新县高级中学邹生书

黄冈中学2021届高三年级三模数学第8题，是一道不等式恒成立求两个参数之和取值范围的单项选择题。试题难度较大，题目含金量高，对数学能力和数学素养的要求较高，是整个试卷的一大亮点。本文笔者从形和数两个不同的视角切入进行求解，最后殊途同归完成解答。题目及解析如下：

思路一：形感——从函数图象的视角切入求解

注：不要小瞧这个公共点，发现这个公共点很重要，它有引领解题思路的作用。本解法就是在这个小不点的引领下走出困境走向成功的.

当a=0时，f(x)=bx+1，其图象是过公共点（0,1）的一条直线.由图象易知，要直线恒在曲线g(x)=e^-x的下方，则当且仅当直线是曲线在点（0,1）处的切线，易求得切线方程为y=-x+1,所以b=-1.

当a≠0时，y=f(x)为抛物线，要抛物线恒在曲线g(x)=e^-x的下方，则抛物线开口向下且与直线y=-x+1相切于点（0,1）即可，也就是当且仅当a<0且f^,(0)=b=-1.

综上可得a≤0且b=-1，

所以a+b≤-1,故正确的选项是A.

思路二：数感——从不等式放缩的视角切入求解

下面，我们利用上述两种解法得到的结果(所给不等式恒立的充要条件是a≤0且b=-1)用取特殊值的方法来淘汰四个选项中的错误选项，从而得出正确的选项。

故正确的选项是A.

点评：本题若用特值法对四个选项进行验证淘汰，如果取值不满足a≤0且b=-1，即使a+b=-1,a+b=-3，最终结局都是无功而返。

【评注】上述两种解法都不够严谨，有直觉猜测甚至是想当然的成分，直觉猜想合情推理等可能也是本题的考查范畴。这样的题目作为大题考查不大合适，作小题考查却是恰到好处，是一道很好的题目。实际上多大情况下解题时是跟着感觉走的，即跟着解题者对形或数的感觉感悟去思考数学问题，从模糊渐渐到清晰。解题者所积累的数学知识、思想方法和解题经验，综合素质和数学素养等，与解题思路的展开和方法的选择有着密不开分的关系。