胡云端——递推式数列与概率联袂的题型归纳与解法

原创胡云端邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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递推式数列与概率联袂的

题型归纳与解法

湖北省安陆市涢东学校胡云端

对于一些复杂的概率题，在通过相应模型建立关系式之后，需要用递推关系构造等比数列计算，本文通过几道练习题和高考真题加以归纳。

例1.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是1/2，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率分别为1/3,2/3；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为3/5,2/5，记第n(n∈N,n≥1)次按下后，出现红球的概率为P_n..

(1)求P₂的值；

(2)当n∈N,n≥2时，求用P_n-1表示P_n的表达式；

(3)求P_n关于n的表达式。

例2.（2019年全国1卷理科）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

例3.（2020江苏卷）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n．

（1）求p₁，q₁和p₂，q₂；

（2）求2p_n+q_n与2p_n-₁+q_n-₁的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示)．

例4．某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为a_n，数列{a_n}的前n和为S_n．记S_n是3的倍数的概率为P(n)．

（1）求P(1),P(2)；

（2）求P(n)．

例5．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P_n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．