邹生书——2021年新高考一卷第7题的直观解答与严谨解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2021年新高考一卷第7题的

直观解答与严谨解法

湖北省阳新县高级中学邹生书

解法1：直觉思维，根据图象直观进行直觉判断快速得出结果

设坐标为(a,b)的点为P,对过点P的任意直线和曲线y=e^x的位置关系进行动态想像，凭直觉可知：

（1）当点P在曲线上方时,不可能作曲线的切线；

（2）当点P在曲线上时，可作并且只可以作曲线的一条切线且点P为切点；

（3）当点P在x轴上或在x轴的下方时，只能作曲线的一条切线；

（4）当点P介于x轴上方和曲线下方时，可作作曲线的两条切线。

如下图，过点P(a,b)作x轴的垂线与曲线相交于点Q(a,e^a),

则有0<b<e^a.故选D.

【评注】对于本题而言，在时间有限而紧张的考场上借助图像直观进行动态想象，凭直觉快速得出正确选项D显然是最好的解法了。但不少考生对这样直觉得出的结果总感觉不踏实，没有底气，能否给出一个严谨的有底气的解法呢？这是大多师生孜孜以求的。下面编者给出自认为是严谨的解法与公众号邹生书数学的广大读者朋友交流分享，不妥之处请批评指正。

解法2：逻辑思维，即通过设切线方程化归转化等逻辑推理得出结果

因为方程①和方程②是同一切线的斜截式方程，

所以两直线的斜率和截距分别对应相等，

【点评】本高考题的上述直觉思维与逻辑思维两种解法，可谓相辅相成相得益彰。直觉思维发现结论，逻辑思维证明结论。

下面是编者从网上搜索得到的有关直觉思维与逻辑思维的一些认知，供参考。

直觉思维，是指对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断，猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”“预言”等都是直觉思维。直觉思维是一种心理现象，它不仅在创造性思维活动的关键阶段起着极为重要的作用，还是人生命活动、延缓衰老的重要保证。直觉思维是完全可以有意识加以训练和培养的。直觉是不可言传的预感，有人称之为第六感觉，它象人的肌肉那样，可以因锻炼而发达。

逻辑思维，是指人们在认识事物的过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称抽象思维。它是作为对认识者的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。只有经过逻辑思维，人们对事物的认识才能达到对具体对象本质规律的把握，进而认识客观世界。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。

逻辑思维，是思维的一种高级形式。是指符合世间事物之间关系(合乎自然规律)的思维方式，我们所说的逻辑思维主要指遵循传统形式逻辑规则的思维方式。常称它为“抽象思维”或“闭上眼睛的思维”。

逻辑思维是一种确定的，而不是模棱两可的；前后一贯的，而不是自相矛盾的；有条理、有根据的思维；在逻辑思维中，要用到概念、判断、推理等思维形式和比较、分析、综合、抽象、概括等思维方法，而掌握和运用这些思维形式和方法的程度，也就是逻辑思维的能力。