胡全勇、童永奇——探讨三角形内角平分线性质在解题中的妙用
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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探讨三角形内角平分线性质在
解题中的妙用
胡全勇(西北师大育才学校730000)
童永奇(陕西省西安市临潼区马额中学710609)
三角形问题是初中平面几何知识的重点内容，尤其三角形的内角平分线，它不但在初中数学中运用广泛，而且在高中数学中也一直较为广泛应用。近年来，笔者重点研究高中数学题型的归纳与总结，如一个知识点的命题方向有哪些，每个方向怎么解决问题，基本成果已总结成为《高中数学经典问题归纳解析》（上、下册），由陕西师范大学出版社出版。本文就三角形内角平分线在高中数学解题中的灵活运用做以详细的归纳、总结。
定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等.
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
如：在△ABC中，AD 是∠BAC的平分线，且交BC于点D，则AB:AC=BD:DC.
类型一、内角平分线与平面向量基本定理的结合
平面向量基本定理的推论（俗称鸡爪定理）
将三角形内角平分线定理2与平面向量的基本定理相结合，可迅速解决相关问题（即实现“秒杀”）.
类型二、内角平分线与向量模长公式及分类三角形的结合
分析：求三角形中角平分线的长和求有关三角形的面积，是解三角形部分的重点、难点，也是高考命题的热点.一般图形结构复杂，数量关系复杂，因此需要细致分析，看准结构，理清关系，最有效的方法就是读题画图，把题设中的每个信息通过画图传递在脑海中加工.
一般地，若三角形的三边长为整数，求面积可以考虑海伦公式：
解法三（运用平面向量基本定理和模长公式）
类型三、内角三角平分线与焦点三角形的结合
所谓焦点三角形是指椭圆、双曲线的两个焦点和曲线上任意一点构成的三角形，这些三角形中就有一类特殊的与角平分线有关的命题.处理此类问题，一是运用三角形内角的两边上存在两点关于内角平分线对称；二是充分考虑椭圆和双曲线的定义.
评析：该题的求解思路与典例3相同，可运用双曲线的定义直接解决目标问题，相对简单一些.
类型四、内角平分线与双曲线过焦点直线的垂直问题
以前教学双曲线与过交点直线问题，我感觉只有两个字“头痛”，主要是题非常小，但运算量特别大，后来研究发现坐标轴是两条渐近线构成角的角平分线，灵活运用导致运算量非常小，有时还可以达到“秒杀”的解题效果.
1.两交点位于焦点的异侧
评析：本题A、B两点在焦点F的异侧，巧妙运用了焦点到渐近线的距离为虚半轴长以及正切函数与二倍角正切公式.
2.两交点位于焦点的同侧
评析：本题巧妙运用了双曲线的渐近线的对称性（关于X轴、Y轴对称）以及相关平面几何知识.
3.两交点与焦点的位置不确定
评析：典例5与典例6已明确告诉焦点与两交点的位置，而此例没有明确告诉，故需要分类讨论.
类型五、圆锥曲线解答题中以坐标轴或平行于坐标轴的直角为角的内角平分线
典例8（2018年高考数学全国Ⅰ卷理科）
评析：本题侧重考查考生对直线与椭圆知识的综合运用能力，第二问的解题关键是灵活运用“分类与整合思想”、“数形结合思想”以及“等价转化思想”，同时对化简运算能力也提出了较高的要求。
总之，三角形的内角平分线在高中数学的不同知识点中，往往会以不同的命题形式出现，具体解题时需要将三角形内角平分线的基本性质与解析法进行有效结合，有利于简捷获解，提升解题能力。
【参考文献】
[1] 北师大版七年级、九年级《数学》
[2] 胡全勇，张彦文，李天云《高中数学经典问题归类解析》
[3] 余继光，苏德矿《解题卡壳怎么办》
【作者简介】
胡全勇：高中数学教师，毕业于西北师范大学数学专业，从事高中数学教学及研究30多年。2009年编辑出版了《高考数学技巧播放》（由甘肃科技出版社出版），后由陕师大出版社修订为《高中数学复习教程》总共发行20000册，2015年应中科大出版之约编辑出版了《高考数学高频考点及题型分类解析》，销量达到8000册，受到全国广大师生的好评。所教学生有20多人考入清华北大，有两人高考数学满分，教学方法独特，教学经验丰富，能够对不同的学生采用不同的教学方法，做到因材施教。教研主攻方向为——高中数学题型的归类总结与解法探讨。
童永奇：先后执教高三毕业班十六届，已在各类杂志、报刊上发表文章千余篇。2005年5月获《中学生学习报·数学周刊》“特邀作者”兼“特邀编审”；2007年9月获西安市“模范教师”称号；2009年10月担任北京《博恩系列卷》“特邀编审”；2011年元月获西安市第二届紫薇杯红烛奖之提名奖；2011年5月获西安市临潼区劳动模范称号；2013年5月开始担任《教学考试》“特约编辑”；2014年参加省级骨干培训；2015年11月开始担任《课堂内外·数学金刊》“特约编辑”；2015年12月国培教育结业；2016年元月出版著作《2017高考数学经典题型与变式》（副主编）；2016年7月取得市级课题《高中数学后进生转化策略的案例研究》结题证书（参与）；2017年3月总负责省级课题《农村普通高中数学教学质量提升策略的案例研究》的教研任务；2018年开始担任江西金太阳系列杂志、报纸的特约审稿工作.自勉：踏“教研”之路，其乐无穷；行“高效”之实，其心无愧！人生格言：既然要踏，就请踏一路青春的风采；既然要走，就请走一程无怨无悔的人生。
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