张丽花——例析数列和不等式的两种类型及证明方法
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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例析数列和不等式的两种
类型及证明方法
山西省朔城区一中 张丽花
纵观近几年全国各地的高考数学试卷，不难发现数列不等式的证明正在悄然兴起。将数列与不等式结合起来构成的数列不等式，既具有数列的结构与特征，又蕴含了不等式证明的思想方法。
此类题型大致可以归为两大类：一类是不等号左侧的部分为可求和的某个数列的前n项和，其本质仍是在考查数列前n项和的求法。因此，在解决此类数列不等式证明问题时，可以先求出不等号左侧求和部分的表达式，然后利用作差法或者数列的单调性加以证明；另一类是不等号左侧欲求和的部分为不可求和的某个数列的前n项和，在解决这类数列不等式证明问题时，需要结合不等式右侧部分的特征对左侧求和部分对应数列的通项公式进行合理的放缩，从而得到一个新数列，再求其前n项和，所得结果恰好为不等式右侧的部分。
本文就两种题型分别给出了相应的例题供高中师生参考。如有纰漏，望大家及时指正，共同学习、交流。
题型1：不等号左侧部分对应数列的前n项和可求得
方法：（1）直接利用求数列前n项的方法写出不等式左侧的表达式
（2）比较不等式左侧和右侧的大小（通过作差或数列单调性比较）
题型2：不等号左侧对应数列前n项和不易求得
方法：
（1）放缩不等式左侧前n项和对应数列的通项公式。
（2）具体放缩类型取决于不等号右侧的表达式，可能只从第几项开始放缩。
（3）通项公式an放缩成bn后前n项和需可求得，且对应的新前n项和恰与不等号右侧的表达式相同。
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