庞鑫——例谈构造法求数列通项公式

原创庞鑫邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例谈构造法求数列通项公式

山东省垦利第一中学庞鑫

学习数学离不开解题，掌握数学就意味着善于解题。高中数学教学的首要任务就是加强解题训练，而数学的奇妙之处在于，当你对某种问题的理解达到一定境界以后，之前学习过程中感到高深莫测的东西都成了必然。构造法是求数列通项公式众多方法中的一种，但也具有其独特的魅力，下面我们尝试从不同的问题角度去理解构造法的意义。

点评：本题为常见题，通过对原式变形，构造出新的等比数列；也可以两边同除以3ⁿ⁺¹，运用叠加法进行处理，但比较繁琐一些。

点评：此题将a_n移到等号右边后系数为-1，是一个比较特殊的系数，但不影响我们使用构造法。

点评：此题我们的常用方法是叠加法，但也可以使用构造，因为将移a_n到等号右边后系数为1，所以在按照前面题目的形式来构造时会出现无解的情形，我们可以通过构造关于n的二次项式达到配平目的。

点评：方法一为常用方法，简洁明了；方法二中按照前面的方式构造时会出现无解的情形，所以我们通过对两边增加n的一次式达到配平的目的。

点评：此题为相邻三项的数列的构造形式，可以通过解方程组的方法求出通项公式；也可以对式或式用前面的题目方法单独进行构造求出通项公式。

点评：错位相减求和的运算一直是我们易错点，可以将通项公式通过构造的方法进行裂项，转而使用裂项相消法，运算量将大大减少。

以上问题是高中学习数列中经常遇到的问题，当然解题的方式不是唯一的，比如例4也可以使用不动点方法，在这里先不做深入研究。上述问题都没有总结一般的规律，因为笔者认为与其花时间去记忆一般性结论，不如去了解问题解决的来龙去脉。数学学习应该从学会到会学，会梳理知识，会表达反思，会由特殊到一般的推导，必须给学生空间让他们去思考，发展学生自己解决问题的能力。