洪一平、张智刚、邹生书——一道三次函数零点个数试题的解法与反思
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一道三次函数零点个数试题的
解法与反思
洪一平 张智刚 邹生书
题目:已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1, x2,且x1<x2,若x1+2x0=3x2,函数g(x)=f(x)-f(x0), 则g(x)( )
A.恰有一个零点 B.恰有两个零点
C.恰有三个零点 D.没有零点
这是广东张智刚老师在《数学解题与写作交流群》里提出的一个三次函数零点个数的选择题，通过群聊研讨可知这道题目解法多样、内涵丰富、结论有趣。下面将几种解法和解题反思呈现如下，希望对热爱解题研究的朋友有所帮助和启发。
一、解法展示
解法1（构造特殊函数求解）
2.特殊函数法小题巧做，四两拨千斤，适合应试。一般化思想求解，小题大作，逻辑性强，推理严谨，揭示问题本质属性，适合做研究。
3.洪一平老师认为：出题的人一定是煞费苦心弄出这么一道好题来，特殊值法一弄妙趣全无。为了防止用特值法求解，他建议将选项D改为：“零点个数不能确定”。另外，由函数g(x)=f(x)-f(x0)很容易知道函数g(x)有一个零点x0，所以很容易判定原题选项D不正确，选项D迷惑性不大。
根据上文解法与解题反思，我们可将此题改编成如下选择题和解答题：
【题1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1, x2，若x1+2x0=3x2，则g(x)=f(x)-f(x0)的零点个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定
【题2】已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1, x2，若x1+2x0=3x2，判断函数g(x)=f(x)-f(x0)是否有零点？若有，试求出零点。
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