万尔遐、汪跃中——探讨高考数学命题人如何编定圆的试题
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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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探讨高考数学命题人如何编定圆的试题
原创/万尔遐 整理/汪跃中
（一）何以“圆不离三”
首先考察确定一个圆的条件。
有人说，知道圆心与半径，就可以画圆，所以确定一个圆只需两个条件。
半径算一个条件不假，可是圆心是一个点，在平面直角坐标系中，确定一个点的位置需要一对实数。也就是与坐标轴平行的两条直线交于唯一一个点，这个点就是圆心。
因此，正确的说法是：确定一个圆，需要三个独立的条件。
[例1]ΔABC的三个顶点的坐标依次为A(2，2),B(-3，-3),
C(5，-7)，求它的外接圆的方程。
[结论]若少了一或两个条件,即成为形如图2或图3的圆系。
（三）千变万变，唯“三”不变
以下探讨，命题人如何编定关于圆的试题。
[点评]本题中“三点定圆”的条件，有两点被直线与圆相交置换，另一点是原点，或用“半径最小”所置换，仍然是“圆不离三”。
高考命题人，把三个参数a，b，r当作“谜底”，深藏到三个“替换条件”中去，而解题人却把三个“替换条件”转变成关于a，b，r的“三元二次方程组”，从而把三个参数a，b，r找了回来。这就是高考命题的“技术”，也就是考场解题的“能力”。
[结论]关于确定圆方程的命题，三个独立条件一个也不能少，命题人的“花招”无非是：
1.直接给出不共线3点的坐标，则考生有据可循，这种题一般属于容易题；
2.将3点中的1点或2点进行置换，考生需将被置换的点“复原”，这种题一般属于中等题；
3.将所有3点全部置换，考生需将被置換的3点全部“复原”，这种题一般属于难题。
（四）圆的性质，以“三”分类
圆的性质，主要叙述点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系，它们都是以“三”分类。
[点评]直线与圆的位置关系，有相离，相切，相交三种，相应地，直线与圆的公共点为0个，1个，2个，还是“圆不离三”。
涉及两圆位置关系的试题
[点评]两圆的位置关系，有相离(外离或内含，没有公共点)，相切(内切或外切，1个公共点)和相交(2个公共点)三种，还是“圆不离三”。
（五）多出一点，又当如何？
在平面上给出四点，其中无3点共线，在什么条件下，这4点在同一个圆上？
[点评]无3点共线的4点不一定都在一个圆上，但是其中任意3点都能够确定一个圆，所以“四点共圆”的实质，是判断另一个点是否也在这个圆上。
[结论]由于不共线的3点一定可以确定一个圆，所以判断四点是否共圆的实质，是考察第4点是否在前3点确定的圆上，说到底还是处理点与圆的位置关系.设圆心为O，圆半径为r，A，B，C在圆上，那么：
最后献上一首[考官本章命题思想]诗:
题根不只看外观，由表及里到内涵。
此题出得内外好，题是线段根是圆。
【万尔遐简介】湖北省孝感市人，北京师范大学数学系毕业。特级教师，享受国务院政府特殊津贴的教育专家，中国数学会普及教育工作会员。湖北省孝感市文昌中学教学校长，北京师范大学教育科学研究所课改专题研究员。中学任教38年，跟踪高考29年。曾参加全国高考命题工作，是“出活题、考基础、考能力”的倡导者。
【作者简介】汪跃中，湖北省孝感市人，武汉华中师范大学数学系毕业，武汉市教育科学研究院数学科原主任，特级教师，湖北省暨武汉市数学会理事、中数学部委员，武汉市中数学科带头人，武汉市中学数学教学研究会常务副会长兼秘书长。
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