杨俊——2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题二 第11题背景探源与解答（内附全部试题）
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2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）第11题背景探源与解答
深圳高中教师 杨俊
11: 已知正实数x,y,z满足(x+y+z)xyz=4,
求M=(x+y)2+2(y+z)2+3(z+x)2的最小值。
解析：此题的背景源自第三届IMO试题：
已知三角形ABC的边长为a,b,c,面积为S,
证明a2+b2+c2≥4√3S,并指出等号成立的条件。
此不等式即为Weitzenbock不等式,利用海伦公式和均值不等式不难证得,只有当a=b=c时有三边平方和的最小值4√3S。
肯定有人会有疑问,这两题之间有关联吗？
有的,而且这道19年CMO夏令营的试题就是该不等式的加权版。这里我们给出两种证法。
由题,不妨令a=x+y,b=y+z,c=z+x,原条件(x+y+z)xyz=4等价于p(p-a)(p-b)(p-c)=4,其中p=(a+b+c)/2也就是说, 三角形ABC满足面积为S=2,求M=a2+2b2+3c2的最小值。
法2：如图,满足题意的三角形必然是一个锐角三角形,不然,在同样面积的情况下,钝角三角形会有更大的边长。
不妨设BC边长的高AD=h,CD=x,BD=a-x,
可得M=a2+2b2+3c2=a2+2(h2+x2)+3[(a-x)2+h2].
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