一道向量难题的两思路四解法

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“文章来源：邹生书数学”等字样。一道向量难题的两思路四解法

江苏省泰州姜堰中学 钱厚德

福建厦门易思数学叶超杰

浙江平阳中学洪一平

湖北省阳新县高级中学 邹生书编辑整理

点评：上述三种解法根据向量的有关知识充分利用向量的几何特征，将问题转化为直观的几何图形来解决。三种解法综合性强，综合运用了向量、三角、解析几何等有关知识。三种解法大同小异，法1是将已知三角等式变成余弦形式，然后利用余弦定理求解，解法涉及分类讨论，运算量较大；法2是将已知三角等式变成正弦形式，然后利用正弦定理求解；法3是在法2的基础上挖掘利用正弦定理所得等式PA+PB=4的几何意义，用运动变化的思想让点动起来，构造椭圆，然后用直线与椭圆的位置关系求最小值，解法形象直观。

思路二：用向量的代数特征，将问题用坐标法求解

解法4：（巧设向量坐标，将向量问题转化为纯代数问题求解 洪一平提供）

点评：本解法用坐标化的方法来解决此问题的关键，是根据题设条件巧设向量a,b的坐标，从而将向量问题转化为坐标运算求解，实现向量问题代数化。

【小结】向量集数与形于一身，是数形结合的良好素材。本题是一道以向量为载体的最值问题，根据向量的数形结合的双重特性，因此解决本题有两条件思路方向，一是充分利用向量的几何特征，将问题转化为几何问题来解决，这种解法往往综合性强，本题综合运用了向量、三角、解析几何等有关知识，对思维能力要求较高；二是根据题意巧设向量坐标，将问题问题转化为向量的坐标运算来处理，实现向量问题代数化，解法干净利落，该解法对化归转化和运算求解能力有相当高的要求。本题是一道考查分析问题和解决问题能力，考查数学综合素质和数学素养的难得好题。佳题共分享，解法相如析。