构造双椭圆解一道世锦赛试题

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构造双椭圆解一道世锦赛试题

湖北省阳新县高级中学邹生书

文章发表于《数理天地》2013（4）

题目已知正方形ABCD的边长是1，点E在以AD为直径的圆上运动，求EB+EC的取值范围。

这是2012年世界数学团体锦标赛青年组接力赛第三轮3-B题，本题是一道动态几何最值问题，看是平淡无奇实则背景深远。由于“世锦赛”答题卡只要求填写最终结果不要求写出解题过程，故可根据图形直观，计算点在几个特殊位置时EB+EC的值，便可轻松地猜出EB+EC的取值范围，如若要证明你的结论这不是一件容易的事情。下面笔者通过构造双椭圆利用椭圆的定义以及曲线与方程等有关知识，对本题给出一个直观、理性而又不失严谨的解法，供读者参考。