洪一平——三次函数对称中心的一个判定方法与应用
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三次函数对称中心的一个判定方法与应用
浙江平阳中学 洪一平
命题:设y=f(x)是一个三次函数, 若任一条直线l与y=f(x)的图象相交于不同的三点A, B, C, 且满足|AB|=|BC|, 则B是函数f(x)的图象的对称中心.
证明:由于三次函数都有一个对称中心, 通过平移可以把对称中心与原点重合,
故不失一般性, 可设过原点的三次函数f(x)=ax3+bx, a≠0, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
由|AB|=|BC|, 得2x2=x1+x3, 2y2=y1+y3,
而x1≠x3, 故x2=0, 从而y2=0,
因此, B是对称中心.
下面我们运用这个性质来解答一道三次函数对称中心的难题。
(武汉市2018届高中毕业生二月调研测试题)
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