一道背景深厚的椭圆离心率难题及其解法研究

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一道背景深厚的椭圆离心率难题及其解法研究

湖北省阳新县高级中学邹生书

在数学群里探讨数学问题及其解法的好处是显然易见的，大家可以相互鼓励，相互激发，相互启迪，充分发挥集体的智慧和力量，有时可以在短时间内通过讨论全面彻底地解决问题。

最近一道椭圆离心率难题在“高中数学解题交流二群”引起了群友们的热烈讨论，纷纷抛出对该题的解法进行交流，前面群友先发出的解法对后面群友的求解有启发和借鉴作用。

这道椭圆离心率难题，通过集体研讨，解法越来越简单，而问题的本质也伴随着讨论渐渐地浮出水面。

笔者根据群友们的解法及个人的理解作了一些梳理和背景挖掘，问题及解法和背景探究如下：

问题解决到此已经几近完美了。但是，这是一道选择题，显然这些解法都显得小题大做费时耗力，不符合小题巧做的解题原则，那么能否小题巧做？要小题巧做，我们就必须弄清命题意图，命题者到底在考查什么，问题的本质是什么？

由解法2可知，这个问题的本质就是椭圆共轭直径的性质。

连结椭圆上任意两点的线段叫弦，过椭圆中心的弦叫直径。平行于直径DE的弦的中点的轨迹 AB 和直径 DE 互为共轭直径。

椭圆的任一条直径必平分其共轭弦。椭圆的共轭直径有无数对。

当一对共轭直径互相垂直时，即为椭圆的长轴和短轴。

椭圆共轭直径（弦）有如下性质：

下面我们回到原问题，挖掘条件背后隐藏的东西，给出一个极限解法。注意到题设条件中向量等式中的系数不等于1，为什么不能等于1？这一条件隐藏什么秘密？等于1会怎样？会发生什么？当系数等于1时，点M为弦AC和BD的中点，而在椭圆中以M为中点的弦有且只有一条。也就是说当系数趋向于1时，弦AC和BD趋向于重合。两弦重合时，点M也是AB的中点，根据上述共轭直径（弦）的性质有：

群研——让解法由繁到简，

让问题本质逐渐显露出来

——对一道椭圆离心率试题的解法探究

高中数学解题交流二群

“高中数学解题交流二群”对这道椭圆离心率问题的解法讨论，上面展示出来的是完全按照时间顺序呈现的，前面群友先发出的解法对后面群友的解法有启发和借鉴作用，在一个群里探讨数学问题和解法的好处是显然易见的，大家可以相互鼓励，相互激发，相互启迪，充分发挥集体的智慧和力量，有时可以在短时间内通过讨论全面彻底地解决问题。