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将军饮马之加强版
广东深圳 杨俊
将军饮马问题是初中的常见问题,非常典型且常规,这个问题能够打通代数和几何之间的关联,同时本身也有很多种变形的情况,今天我们主要讲解两种情况：胡不归和加权版将军饮马问题。
所谓将军饮马问题即：在某条直线的同侧的两点A,B在该直线上寻找一点P使AP+BP最短。最简化的模型比如：已知两点A,B的坐标分别为(1,1)和(2,3)在轴上找一点P使AP+BP最短？做法就是作其中一个点A关于x轴的对称点C(1,-1)连接CB与x轴的交点P可以使AP+BP最短,其最小值为√17
当然,这个问题也可以换一个角度来问：
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这个时候老师会告诉学生,你把这两个式子看成一个轴上一个动点P(x,0)到两个定点A(1,1)和B(2,3)的距离之和就可以转化为将军饮马问题了,这个转化的方法很棒,非常好的体现了数形结合的数学思维。
当然,如果我们做的足够熟练了,完全可以使用柯西不等式直接得到结果：
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今天我们来介绍两种这个模型的加强版，先说胡不归模型。
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有了上一个题目的经验,相信大多数人能很快反应出来对应的解法,好了,这个答案留给读者们自己动笔计算一下吧。
当然,如果你觉得这些都是小儿科罢了,不妨来试试这题，
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接下来，我们继续介绍加权版将军饮马问题。
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当然,高中生也可以直接通过求导得到a=1/3时有极小值,也就是说,光的折射定理的和求导是等效的,但初中生并没有学过导数,故只能采用这种方法教初中生来解.
其实,无论是任何类型的将军饮马的变形版本,从原理上来说,都是可以利用导数来解决的,但对于初中生来说,对于一些简单的系数比,可以有更为简单的转化方法,那么,你能熟练掌握了吗？相信只要你用心了,是完全可以的.
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