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两种方法解答一道浙江高考难题
浙江省平阳中学 洪一平
2016年浙江省高考理科数学第8题如下所示
8.已知实数a, b,c
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1, 则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1, 则a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1, 则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1, 则a2+b2+c2<100
解法一: 举反例排除法.
结合每个选项, 对a, b, c赋特殊值使之满足题设条件, 不满足结论
令a=b=10,c=-110, 可排除选项A;令a=10, b=-110, c=0, 可排除选项B;
令a=10, b=-10, c=0, 可排除选项C. 故选D.
点评：乍看这是一个省心省力的方式, 但反例也并非轻而易举的找到, 要根据选项的特点来给出.
解法二: 直接证明D选项是正确的.
利用不等式放缩法和解析几何有关圆的知识及数形结合的方法予以解决
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再设a=mcosq, b=msinq, 0≤m<2,
则|a+b2|=|mcosq+m2sin2q|≤m+m2<6
又|c|-|a+b2|≤|a+b2-c|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,
从而|c|≤1+|a+b2|<7, 即c2<49
因此, a2+b2+c2<4+49<100, D选项得证.
点评：虽然过程比较烦琐, 但可强化结论, 并为变式改编提供支持.
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