邹生书——两思路三解法解答一道”端点效应”导数周测难题

原创邹生书邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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两思路三解法解答一道”端点效应”

导数周测难题

湖北省阳新县高级中学邹生书

评注：这是编者所在学校高二年级的一道周测试题，本题第1问比较简单，第2问含有参数的函数不等式恒成立，求参数的取值范围问题，根据问题特点本题属于“端点效应“类难题。“端点效应”问题是高考和模拟考的热点和难点问题，解决这类问题的思路主要有两条：一是对参数分类讨论求解，这种方法在解题实施的过程中往往会遇到很多难点，解题之路迂回曲折处处受阻。关注细节，认真观察，寻找突破，都显得非常重要。其中严谨性是问题解决的一个最大难点和失分点；二是用分离参数法，分离参数后的函数是一个分式函数，求导知道函数是单调函数，而在端点处函数无定义，且在端点处函数的分子分母的极限均为0，函数极限属于“0/0”型，这也是所谓“端点效应”问题的由来。这种解法方向明确解题之路为阳光大道。处理“0/0”型极限的最传统的方法是洛必塔法则，解法虽然简单但超出了高中数学内容。李鸿昌老师在《回归导数概念，求解“0/0”型极限题》一文中介绍了用导数极限定义求解的方法，这种解法回避了洛必塔法则，高中生可以接受。

下面给出本题第2问的两思路三解法，供读者朋友参考。

思路一：对参数分类讨论求解