洪一平——这个怪异丑陋的三角不等式征解题原来的样子很优美

原创洪一平邹生书数学

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公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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【编者按】洪一平，数学高级教师。83年毕业于浙江大学数学系，后在杭州商学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学。在编者创建的《数学解题与写作交流群》和《高中数学解题交流二群》中，洪老师为群里教师答疑解难最多，到目前为止高达四五百道题目，不仅出手快，大都以 PDF文档形式交流，足见洪老师数学功底深厚，题库贮藏丰厚，因此厚积而薄发。洪一平老师是群里教师公认的罕见的解题高手、数学名师，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。

群里朋友绝大多数是教师，教师提出的寻求帮助的题目大多都是综合性强的难题，读者朋友你是否遇到过这些难题？遇到了多少？是否也困惑过？犯难过？为此，公众号《邹生书数学》特别推出：《洪一平解难题专集链接》，希望对大家有所帮助。

这个怪异丑陋的三角不等式征解题

原来的样子很优美

浙江省平阳中学洪一平

1.一道形式怪异丑陋的三角不等式征解题

2.丑陋的三角不等式原来的样子很优美

在华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材(高中)第209页巩固练习第2题中提供了如下形式对称优美的费-哈不等式(1938年由Finsler-Hadriger提出):

这个不等式的证明已有多种方法. 最近, 这个不等式的等价形式多次出现, 如改头换面后出现在《数学通报》2020年第4期的问题2536中, 在高中数学解题交流二群中有老师以问题征解形式提出过一个形状怪异的三角不等式, 实际上都是费-哈不等式的等价形式

下面笔者提供一个切线长代换证法及一个原创证法, 供第一次接触者参考, 并且这些不等式的等价形式在下面的证明中都有简洁的转化过程.

问题:设△ABC的三内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,其面积为S,

求证:(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)≥4√3S.

证法一: 海伦公式+切线长代换证法

【作者简介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大学应用数学系并于83年毕业, 获理学士学位, 毕业后分配到杭州商学院担任高数助教二年, 85年考上浙江大学应用数学系攻读计算机辅助几何设计专业硕士研究生学位, 89年获得理学硕士学位, 毕业后回家乡任教于浙江省平阳中学, 96年评上高中数学高级教师职称, 曾连续二十多年担任高中数学竞赛及培优辅导员。