洪一平、杨俊等——三线段长度最大值的最小值试题解法研讨

原创洪一平、邹生书邹生书数学

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公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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【编者按】洪一平，数学高级教师。83年毕业于浙江大学数学系，后在杭州商学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学。在编者创建的《数学解题与写作交流群》和《高中数学解题交流二群》中，洪老师为群里教师答疑解难最多，到目前为止高达四五百道题目，不仅出手快，大都以 PDF文档形式交流，足见洪老师数学功底深厚，题库贮藏丰厚，因此厚积而薄发。洪一平老师是群里教师公认的罕见的解题高手、数学名师，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。

群里朋友绝大多数是教师，教师提出的寻求帮助的题目大多都是综合性强的难题，读者朋友你是否遇到过这些难题？遇到了多少？是否也困惑过？犯难过？为此，公众号《邹生书数学》特别推出：《洪一平解难题专集链接》，希望对大家有所帮助。

三线段长度最大值的最小值试题解法研讨

浙江省平阳中学 洪一平

广东广州 杨俊 陕西澄城 魏拴文

湖北省阳新县高级中学 邹生书编辑整理

说明：本题是一道三线段长度的双层最值问题，思维难度较大。浙江省平阳中学洪一平老师指出这个题目是哪一年的数学竞赛题，现在不知是何校何人将此题作为高考模拟题给学生做。

本文将高中数学解题交流二群对本题的解法研讨整理成文，给出轨迹与几何两种思路与解法，与读者朋友交流分享。不妥之处，请批评指正。

思路一：分类讨论+几何法与轨迹法结合求解 洪一平提供

思路二：分类讨论+构造三角形外接圆用几何法求解

杨俊 魏拴文 提供解法 邹生书编辑整理

(3)当A,B,C不共线时，我们先证明一个引理，再在此基础上来解决这个问题。

根据上述引理，M的最小值就是其三角形外接圆的半径。

由题设知OA=OB,所以线段AB的垂直平分线方程为y=x,据此可设△ABC的外接圆的圆心为D(m,m).再由DA=DC=R，

综上可知，当a=m=7-2√6时，M=7-2√6最小。此时，四边形OADB为正方形，△ABC的外接圆与两条坐标轴分别相切于点A,B.

【作者简介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大学应用数学系并于83年毕业, 获理学士学位, 毕业后分配到杭州商学院担任高数助教二年, 85年考上浙江大学应用数学系攻读计算机辅助几何设计专业硕士研究生学位, 89年获得理学硕士学位, 毕业后回家乡任教于浙江省平阳中学, 96年评上高中数学高级教师职称, 曾连续二十多年担任高中数学竞赛及培优辅导员。