杨 俊——两种方法解一道参数恒成立问题
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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两种方法解一道参数恒成立问题
广东广州 杨 俊
题目：若2ex-alnx≥a恒成立,求参数a的取值范围。
解析：这是非常常见的不等式恒成立问题,这里我们先使用常规方法求解,再给出简洁的方法。
法一：参变分离
由2ex-alnx≥a可得2ex≥a(lnx+1),由于这里lnx+1的符号不确定,故需要分类讨论。
法二：半分离
由2ex-alnx≥a可得2ex≥a(lnx+1)，这里我们观察到左边的函数g(x)=2ex是递增的下凸函数,而右边的函数h(x)= a(lnx+1)，当a>0时是一个递增的上凸函数,当参数a增加时，恰好两者会在某一个时刻相切,不妨设切点P的横坐标为x0列式可得
可知a=2e时是一个临界位置,两个函数此时刚刚好相切,当a>2e时,将不满足题意。而当a<0时天生不满足题意,因为g(0)=2而当x趋向于0时, h(x)= a(lnx+1)趋向正无穷,故当0≤a≤2e时满足题意。
总结：对于不等式恒成立问题,参变分离是非常常规的解法,也是最稳妥的解法,但这个解法有时候需要掌握一些课本上没有的附加知识,比如极限和间断点。而对于某些特点的题型,半分离也是一个不错的解法,计算量更小,效率更高。
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