刘锐：一道猜想容易证明难的最小值模考题

原创刘锐邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一道猜想容易证明难的最小值模考题

辽宁沈阳二中刘锐

湖南永州唐佳

湖北省阳新县高级中学邹生书编辑整理

问题：(2017年杭州高级中学模拟试题）

已知圆C:x²+(y-1)²=3，EF是直线y=2x+4上的一条线段，若对于圆上任意一点Q，∠EQF≥90°，则EF的最小值是。

这是浙江金华田卓凌老师发到高中数学解题交流二群里的题目，田老师的困惑是：这道题答案很容易搞出来，但感觉不好讲清楚。因此，发帖请教。

这是一道猜想容易证明难的最小值问题。

猜想分析：由点到直线距离公式，可求得圆心C(0,-1)到直线y=2x+4的距离是√5，大于圆的半径，所以直线与圆相离。画出直线与圆的位置关系意思图如图所示。过圆心C作直线的垂线，交直线EF于点M，结合图形的对称性猜想：当点Q是线段MC的延长线与圆C的交点，且ME=MF=MQ=√5+√3时，线段EF=2(√5+√3)最短。

理性证明：上述猜想得出的答案确实是正确的。问题是为什么当点C和E,F处于上述特殊位置（此时以线段EF为直径的圆与圆C相内切）时，线段EF最小呢？先猜后证，但猜想容易证明难。猜想不等于证明，猜想是直觉的，而证明是理性的。要理性地严谨地证明或求出这个最小值，必需摆脱猜想的直觉束缚，下面是刘锐老师对这问题的严谨解法。

解法1（刘锐提供）

由点到直线距离公式可求得圆心C(0,-1)到直线y=2x+4的距离是√5，大于圆的半径，所以直线与圆相离。画出直线与圆的位置关系意思图如下图所示。

设EF的中点为M，连接QM,

因为对于圆上任意一点Q，∠EQF≥90°,

由余弦定理得EF²≥EQ²+FQ²,

又M为线段EF的中点，由三角形中线长定理得,

EF²≥EQ²+FQ²=2(QM²+MF²)=2QM²+0.5EF²,

所以0.5EF²≥2QM²,则EF≥2QM,

对于圆上任意一点Q恒成立，

所以EF≥2QM_max=2(QC+CM)=2(√3+CM).

再由存在点M使得上式成立知,

EF≥2(√3+CM)_min=2(√5+√3)。