一道与阿氏圆有关的最大值试题的七种解法
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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一道与阿氏圆有关的最大值试题
的七种解法
广东 杨俊 陕西 魏拴文
河北唐山 齐建民 湖南郴州 袁旭华
湖南永州 唐 佳 提供解法
湖北省阳新县高级中学 邹生书 编辑整理
解法1：换元后转化为二次函数求最值 杨 俊 提供
解法3 余弦定理+二次函数求最值 魏拴文 提供
如图，设∠ONP=θ,连接OP.
在△PMN中，由余弦定理得，
PM2=NM2+NP2-2NM•NPcosθ,
即PM2=9+NP2-6NPcosθ ①
在△PON中，由余弦定理得，
OP2=NO2+NP2-2NO•NPcosθ,
即1=4+NP2-4NPcosθ,
得NPcosθ= 1/4NP2=9+3/4
代入①式整理得
PM2=9/2-1/2NP2,
所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2
=-1/2(PN-1)2+5≤5,
1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。
故PM2+PN的最大值为5.
解法4 勾股定理+三角形中线公式求解 齐建民 提供
因为MA为圆的直径，所以∠APM=90°，
所以PM2=MA2-PA2=4-PA2, ①
又PA是△PNO的中线，由三角形中线长公式得
PN2+PO2=2(PA2+OA2),
则PN2 =2PA2+1 ②
①×2+②得，2PM2+PN2=9,
所以PM2=9/2-1/2NP2,
所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2
=-1/2(PN-1)2+5≤5,
1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。
故PM2+PN的最大值为5.
解法5 阿氏圆定义+三角形中线公式求解 袁旭华 提供
如图，连接PO,PA,取OA中点Q，连接PQ.
依题意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圆的直径，
由阿氏圆的定义得PN=2PQ.
在△PAO中，因为PQ是中线，
所以由三角形中线长公式得
PA2+PO2=2(PQ2+OQ2),
则PA2 =2PQ2-1/2,
因为MA为圆的直径，所以∠APM=90°，
所以PM2=MA2-PA2=4-PA2,
所以PM2+PN=PM2+2PQ
=-2PQ2+2PQ+9/2
=-2(PQ-1/2)2+5≤5,
因为1=AN≤PN≤MN=3, PN=2PQ，
所以1/2≤PQ≤3/2,
所以当PQ=1/2时，等号成立。
故PM2+PN的最大值为5.
解法6 阿氏圆+外角平分线长求解 唐佳 提供
如图，连接PO,PA,取OA中点Q，连接PQ.
依题意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圆的直径，
由阿氏圆的定义知PM是△PNQ的外角平分线，
由外角平分线长定理得
PM2=MQ•MN-PN•PQ=9/2-1/2NP2,
所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2
=-1/2(PN-1)2+5≤5,
1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。
故PM2+PN的最大值为5.
解法7 用斯特瓦尔特（Stewart）定理一步到位求解 唐佳 提供
斯特瓦尔特（Stewart）定理：
设D是△ABC底边上BC一点，则有
AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=DC·DB·BC。
斯特瓦尔特（Stewart）定理，常见的用于得到线段倍份关系、用于求解三角形问题。
如图，连接PO。在△PMN中，用斯特瓦尔特（Stewart）定理得
PM²·ON+PN²·OM-PO²·MN=OM·ON·MN,
即2PM²+PN²-3=6,
所以PM2=9/2-1/2NP2,
所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2
=-1/2(PN-1)2+5≤5,
1=AN≤PN≤MN=3,当PN=1时，等号成立。
故PM2+PN的最大值为5.
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