彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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|a|2|b|2≥(a•b)2的解题探究
432700 湖北省广水市一中 彭光焰
《中学教研》（数学）2006年第11期发表了孙建斌同志的《一个分式不等式的解题探究》一文（以后，简称文[12]），该文利用了定理：
来解决了一些数学问题，其实这个定理是二阶Cauchy不等式一种推广形式.
向量是高中数学必修内容，向量又具有几何形式和代数方法的双重身份，因此向量在代数、三角、平面几何、立体几何和解析几何等方面有重要作用.
这一不等式与n阶Cauchy不等式是一致的，但它的解题功能强于n阶Cauchy不等式的解题功能.
下面就用文[12]中的例题来说明|a|2|b|2≥(a•b)2的解题功能.为便于比较，例题的顺序也不改变.
1 证明代数等式
（注：文[3]巧用“等叠法”证明；文[4]巧用Cauchy不等式证之）.
2 证明三角等式
经检验为原方程的解.
（注：该方程有些难度，然而解法颇多：巧用Cauchy不等式[4]、配方法[5]等.）
4 讨论含参数方程组
这里，两处等号不能同时成立，故不取“≥”，而取“>”.
（注：这一脍炙人口的赛题，证法颇多，如：巧用Cauchy不等式[4]、叠加法[7]等.）
8 证明一类无理不等式
（注：文[8]巧用构造几何模型证之；而用|a|2|b|2≥(a•b)2证明竟如此简洁，令人叫绝.）
9 证明三角不等式
（注：此处，巧用了0<cos(α-β)≤1,本题尚可用基本不等式证明[9]或用互叠法[7]证明之.）
10 求一次函数最值
12 求二次函数最值
的切线方程.由于过圆外一点作圆的切线有两条，还有一条切线方
程的斜率不存在，其方程是x-2=0.
（注：文[12]的解法有误，遗漏了一条切线方程x-2=0.）
15 求有关点的坐标
（注：注意此处考虑P、Q两点不同，故只取“>”.）
综上所述，只要我们认真审题，根据题目提供的信息，恰当地构造向量，便可巧用|a|2|b|2≥(a•b)2予以简洁、漂亮的解证.
参考文献
1 孙建斌. 一类二元函数最值问题的一种解题策略[J].中学教研（数学），2004（11）：21-24.
2 沈红霞.一堂研究课的来龙去脉——对基本不等式的探究及应用[J].中学教研（数学），2006（6）：29-31.
3 孙建斌.巧用“等叠法”解题[J].中学教研（数学），2005（9）：38-40.
4 孙建斌.柯西不等式的解题魅力[J].中学生数学，2006（5）上：30-31.
5 黄量生.孙建斌.巧用配方法解三角题[J].中学数学月刊，2004（9）：24-25.
6 李铁烽.丢番图恒等式在解题中的应用[J].中学数学月刊，2002（7）：47-49.
7 孙建斌.与时俱进，大胆创新——“互叠法”证明不等式的发现与解题联想[J].数学通报，2006（5）：46—48.
8 李生有.构造解析几何模型证明不等式[J].中学生数学，2001（2）上.
9 曾思江，刘中华.用基本不等式解题的思维过程浅析[J].湖南数学通讯，1996（2）.
10 朋安，姚先伟，直线学习中的“八项注意”[J]，中学生数学，2001（2）上.
11 孙建斌.“特征信息”的捕捉与解题的最优化[J].中学数学教学参考，2001（12）：29-30.
12．孙建斌.一个分式不等式的解题探究[J].中学教研（数学），2006（11）：17-21.
作者彭光焰往期文章链接
11.彭光焰：方法与过程并行 巧解与通解并重——也谈2013年重庆市高考理科考试说明样题第17题
10.彭光焰：巧用教材资源 命制高考试题 ——对2014年湖北省高考文科数学第17题的探究
8.彭光焰：从“路径依赖”到“另辟蹊径” ———从几道三角题的解法谈起
7.彭光焰：全面理解 多方转化——一道分式函数最值问题的多角度审视
【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。
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